Math:求函数极限的几种方法

1.利用四则运算法则与基本极限求极限。

注意：只有有限项才可以用，无穷多项不可以使用四则运算法则。

如果 limf(x)=A,limg(x)=Blimf(x)=A,limg(x)=B

那么:

lim[f(x)±g(x)]=limf(x)±limg(x)=A+Blim[f(x)g(x)]=limf(x)⋅limg(x)=A⋅Blimf(x)g(x)=limf(x)limg(x)=AB(B≠0)(23)(24)(25)(23)lim[f(x)±g(x)]=limf(x)±limg(x)=A+B(24)lim[f(x)g(x)]=limf(x)⋅limg(x)=A⋅B(25)limf(x)g(x)=limf(x)limg(x)=AB(B≠0)

注：

1.若limf(x)limf(x)存在，limg(x)limg(x)不存在，则 lim[f(x)±g(x)]必不存在；lim[f(x)±g(x)]必不存在；;

若limf(x)limf(x)不存在，limg(x)limg(x)不存在，则 lim[f(x)±g(x)]未必不存在；lim[f(x)±g(x)]未必不存在；

解释一下第一个为什么不存在，可以使用反证法来证明。

∵g(x)=[f(x)+g(x)]−f(x)假设f(x)+g(x)存在，根据上面的四则运算法则可知g(x)存在极限。这与已知条件中的g(x)不存在极限值相矛盾。∵f(x)=[f(x)−g(x)]+g(x)假设f(x)−g(x)存在，因为f(x)是存在极限的，所以g(x)必须是存在极限，这与已知矛盾∴若limf(x)存在，limg(x)不存在，则lim[f(x)±g(x)]必不存在;∵g(x)=[f(x)+g(x)]−f(x)假设f(x)+g(x)存在，根据上面的四则运算法则可知g(x)存在极限。这与已知条件中的g(x)不存在极限值相矛盾。∵f(x)=[f(x)−g(x)]+g(x)假设f(x)−g(x)存在，因为f(x)是存在极限的，所以g(x)必须是存在极限，这与已知矛盾∴若limf(x)存在，limg(x)不存在，则lim[f(x)±g(x)]必不存在;

2. 若 limf(x)=a≠0limf(x)=a≠0，则 limf(x)g(x)=alimg(x)limf(x)g(x)=alimg(x)

常用的基本极限：

limx→0sinxx=1limx→0(1+x)1x=elimx→∞(1+1x)x=e(26)(27)(28)(26)limx→0sin⁡xx=1(27)limx→0(1+x)1x=e(28)limx→∞(1+1x)x=e

limx→∞a0xm+a1xm−1+⋅⋅⋅+amb0xn+b1xn−1+⋅⋅⋅+bn=⎧⎩⎨⎪⎪0,n>ma0b0,n=m∞,n<m(29)(29)limx→∞a0xm+a1xm−1+⋅⋅⋅+amb0xn+b1xn−1+⋅⋅⋅+bn={0,n>ma0b0,n=m∞,n<m

2.利用等价代换求极限

x→0,sinx∼arcsinx∼tanx∼arctanx∼ex−1∼ln(1+x)∼x1−cosx∼12x2ax−1∼xlna(1+x)a−1∼ax(30)(31)(32)(33)(30)x→0,sin⁡x∼arcsin⁡x∼tan⁡x∼arctan⁡x∼ex−1∼ln⁡(1+x)∼x(31)1−cos⁡x∼12x2(32)ax−1∼xln⁡a(33)(1+x)a−1∼ax

注意：在乘除中使用等价代换，加减中不要使用等价代换。

【例】

limx→0tanx−sinxsin3x∵tanx=sinxcosx∴limx→0tanx−sinxsin3x=limx→0tanx(1−cosx)sin3x=limx→0x⋅12x2x3=12(34)(35)(36)(37)(38)(39)(34)limx→0tan⁡x−sin⁡xsin3⁡x(35)∵tan⁡x=sin⁡xcos⁡x(36)∴limx→0tan⁡x−sin⁡xsin3⁡x(37)=limx→0tan⁡x(1−cos⁡x)sin3⁡x(38)=limx→0x⋅12x2x3(39)=12

由此题得：

x→0,tanx−sinx=12x3x→0,tan⁡x−sin⁡x=12x3

数列

3.利用夹逼定理求极限

（1）对无限项

n⋅min≤原式≤n⋅maxn⋅min≤原式≤n⋅max

（2）对有限项

1⋅max≤原式≤n⋅max1⋅max≤原式≤n⋅max

limn→∞an1+an2+⋅⋅⋅+anm−−−−−−−−−−−−−−−√n=max{a1⋅⋅⋅am}limn→∞a1n+a2n+⋅⋅⋅+amnn=max{a1⋅⋅⋅am}

4.利用单调有界准则求极限

单调增且有上届，则极限存在；

单调减且有下届，则极限存在。