机器学习-支持向量机(python3代码实现)

支持向量机

哈尔滨工程大学-537

算法原理：

一、寻找最大间隔

如下图所示，用一条分割线将两类点分割开来(二维的是一条分割线，多维的就是分隔面)，显然三条线都能将两类点分割开来，然而，从直观来看，红色的分割线显然分割效果最好。为什么这么说呢？



因为红色的分割线到两边最近的点的距离更远。可以直观把两边的两类点想象成地雷，我们有一支红军要通过这片雷区，显然，沿着绿色和灰色的路线行军，两边不会踩到地雷的安全区域非常的窄，而沿着红色的路线行军，安全区域明显更宽。我们的目的就是要找到能够使安全区域最宽的行军路线，最终使红军夺得革命战争的胜利。

如下图所示，距离分割线最近的几个点的位置，决定了分割线的位置，形象的来说，就是距离红军队伍最近的几个地雷的位置，决定了红军穿过雷区的行军路线，如果距离红军最近的地雷的位置发生改变，红军的行军路线就必须随之改变，否则安全区域就有可能变窄，踩到地雷的可能性就会增加。



那么此时要解决的目标就非常明确了，即找到距离分割线最近的那几个点，而这几个距离分割线最近的点，就叫做支持向量，这就是支持向量机一词的由来。

那么如何找到距离分割线最近的那几个点？

由高中数学可知：空间中一个点(x1,y1,z1)(x1,y1,z1)到平面线ax+by+c<
4000
span class="mi" id="MathJax-Span-25" style="font-family: MathJax_Math-italic;">z+d=0ax+by+cz+d=0 的距离为：ax1+by1+cz1+da2+b2+c2√ax1+by1+cz1+da2+b2+c2 ；

扩展为多维的情况，点Xi=(xi1,xi2...xi
24000
k)Xi=(xi1,xi2...xik)到一个超平面WTX+b=0WTX+b=0的距离为：WTXi+b||W||WTXi+b||W||，其中WW和XX为kk维向量(因为XiXi有kk个特征)。

于是当前的任务就是要找到WTXi+b||W||WTXi+b||W||值最小的数据点，将该点的WTXi+b||W||WTXi+b||W||最大化，此时的WW和bb就是我们要找的最优分割超平面的参数。

由高中数学可知：若点(x1,y1)(x1,y1)在直线y=ax+by=ax+b的上侧，则将点(x1,y1)(x1,y1)带入直线得ax1+b−y1>0ax1+b−y1>0，反之，若在下侧，则带入直线得ax1+b−y1<0ax1+b−y1<0;

推广到多维的情况：若数据点XiXi在超平面正侧，WTXi+b>0WTXi+b>0，那么将在这一侧的数据点定义为1类，即类别标签yiyi为1，那么yi(WTXi+b)>0yi(WTXi+b)>0；

反之，若数据点XiXi在超平面的负侧，WTXi+b<0WTXi+b<0,那么将这一侧的数据点定义为-1类，即类别标签yiyi为-1，那么yi(WTXi+b)>0yi(WTXi+b)>0 ， 这样在比较大小的时候，就避免了负数的出现。

那么此时，首要任务就是找到yi(WTXi+b)||W||yi(WTXi+b)||W||最小的数据点，并将该点的yi(WTXi+b)||W||yi(WTXi+b)||W||值最大化。

若限制yi(WTXi+b)≥1yi(WTXi+b)≥1，则距离超平面最近的点的yi(WTXi+b)yi(WTXi+b)应等于1，而||W||||W||则越大，说明该点离超平面越近。

如下图，可以更加直观的理解以上说法，虚线WTX+b−1=0WTX+b−1=0和虚线WTX+b+1=0WTX+b+1=0分别是两条与直线WTX+b=0WTX+b=0平行的直线(由高中数学可知,WTX+b−1=0WTX+b−1=0在直线上侧，WTX+b+1=0WTX+b+1=0在直线下侧)，通过归一化系数W，可以使最后的常数一直保持+1和-1，也就是说，这两条虚线可以在平面上任意移动，而始终保持WTX+b−1=0WTX+b−1=0和WTX+b+1=0WTX+b+1=0的形式。那么现在的要求就是，让这两条虚线之间的距离最大，且要保证所有点都在这两条虚线之外(或在虚线之上)，即1类样本点都在WTX+b−1=0WTX+b−1=0的正侧(或在线上)，即WTXi+b−1≥0WTXi+b−1≥0；而-1类样本点都在WTX+b+1=0WTX+b+1=0的负侧(或在线上)，即WTXi+b+1≤0WTXi+b+1≤0。



如果把+1和-1项都移到等式右边，就分别为：WTXi+b≥+1WTXi+b≥+1和WTXi+b≤−1WTXi+b≤−1，再分别乘上它们的类别标签yiyi，就可以用一个式子来表示了，即WTXi+b≥1WTXi+b≥1。

那么此时的首要任务可以这样表述：给定训练样本(Xi,yi)(Xi,yi)，在yi(WTXi+b)≥1yi(WTXi+b)≥1的限制条件下，使yi(WTXi+b)||W||yi(WTXi+b)||W||尽可能的大。

而能对分割超平面产生影响的只有支持向量，即位于虚线上的样本点，即yi(WTXi+b)=1yi(WTXi+b)=1的样本点，那么此时只需要使分母，即||W||||W||尽可能的大，为了后面计算方便，改写为使12||W||12||W||即12WTW12WTW尽可能的大。此时的WW和bb就是最优超平面的参数。

由高数内容可知：带限制条件的求极值，可以应用拉格朗日乘子法。即求12WTW12WTW的极值，限制条件为1−yi(WTXi+b)≤01−yi(WTXi+b)≤0(拉格朗日乘子法要求限制条件为f(x)≤0f(x)≤0的形式)。由于对于每一个数据点Xi(i=1,2...n)Xi(i=1,2...n)，都作此限定条件，即任意的1−yi(WTXi+b)≤01−yi(WTXi+b)≤0，(i=1,2...n)(i=1,2...n)。

于是由拉格朗日乘子法得：

L(W,α,,b)=12WTW+∑i=1nαi(1−yi(WTXi+b))L(W,α,,b)=12WTW+∑i=1nαi(1−yi(WTXi+b))

要求什么样的WW和bb能使L(W,α,b)L(W,α,b)取得极小值，应分别对WW和bb求导，使导数为0，于是得到：

∂L∂W=W−∑i=1nαiyiXi=0∂L∂W=W−∑i=1nαiyiXi=0

∂l∂b=∑i=1nαiyi=0∂l∂b=∑i=1nαiyi=0

于是可得：W=∑i=1nαiyiXiW=∑i=1nαiyiXi

首先将L(W,α,b)L(W,α,b)逐项展开，得到：

L(W,α,b)=12WTW+∑i=1nαi−∑i=1nαiyiWTXi−b∑i=1nαiyiL(W,α,b)=12WTW+∑i=1nαi−∑i=1nαiyiWTXi−b∑i=1nαiyi

再将WW带回到L(W,α,b)L(W,α,b)中，并且∑ni=1αiyi=0∑i=1nαiyi=0，得到：

12(∑i=1nαiyiXi)T(∑i=1nαiyiXi)+∑i=1nαi−∑i=1nαiyi(∑i=1nαiyiXi)TXi12(∑i=1nαiyiXi)T(∑i=1nαiyiXi)+∑i=1nαi−∑i=1nαiyi(∑i=1nαiyiXi)TXi

整理后可得：

J(α)=∑i=1nαi−12∑i=1n∑j=1nαiαjyiyj(Xi)TXiJ(α)=∑i=1nαi−12∑i=1n∑j=1nαiαjyiyj(Xi)TXi

于是得到此时的目标函数为J(α)J(α)。即这样的WW和bb能够使得L(W,α,b)L(W,α,b)取得极小值，并且将WW和bb带入L(W,α,b)L(W,α,b)后得到J(α)J(α)，现在的目标是将J(α)J(α)最大化。并且限制条件为：

∑i=1nαiyi=0∑i=1nαiyi=0

αi≥0αi≥0

式子J(α)J(α)中的Xi,yiXi,yi是全体样本点，然而J(α)J(α)取得极大值仅仅依赖距离超平面最近的点，即只和支持向量有关。所以J(α)J(α)的解必然是稀疏的，即对于支持向量，α>0α>0，而对于其他样本点，α=0α=0。

故将样本点带入J(α)J(α)，再分别对αiαi求导，使导数等于0，再根据∑ni=1αiyi=0∑i=1nαiyi=0,求解αiαi，且αiαi需满足限定条件αi≥0αi≥0。

若解不满足限定条件，则解可能在限制边界上，则将将其中一个αα以0带入，求解其他αα值

再根据式子：W=∑ni=1αiyiXiW=∑i=1nαiyiXi，求解出WW。

最后根据式子yi(WTXi+b)=1yi(WTXi+b)=1，求解出bb。

于是便得到了最优超平面的参数WW和bb。

二、引入松弛变量

以上是针对比较完美的情况，即两类点100%线性可分，但是如果数据点并没有那么“干净”，这时候就可以引入所谓“松弛变量”，来允许有些数据点可以处于分割面的错误一侧，此时，限制条件为：

yi(WTXi+b)≥1−ξiyi(WTXi+b)≥1−ξi

ξi≥0ξi≥0

之前是使得12WTW12WTW取极小值，现在是是使12WTW+C∑ni=1ξi12WTW+C∑i=1nξi取得极小值。这里的CC是可调节的参数，当CC比较大时，显然ξiξi比较小；CC比较小时，则ξiξi比较大。

于是此时应用拉格朗日乘子法可得：

L(W,b,ξi,α,μ)=12WTW+C∑i=1nξi+∑i=1nαi(1−ξi−yi(WTXi+b))−∑i=1nμiξiL(W,b,ξi,α,μ)=12WTW+C∑i=1nξi+∑i=1nαi(1−ξi−yi(WTXi+b))−∑i=1nμiξi

(这里将ξi≥0ξi≥0变成−ξi≤0−ξi≤0的形式，以适用拉格朗日乘子法)

与之前同样的做法，求L(W,b,ξi,α,μ)L(W,b,ξi,α,μ)取得极小值，应对WW，bb，以及引入的“松弛变量”ξiξi分别求偏导(i=1,2...n)(i=1,2...n)，可以看出对WW和bb求偏导结果没有改变，因此仍然可得：

W=∑i=1nαiyiXiW=∑i=1nαiyiXi以及∑i=1nαiyi=0∑i=1nαiyi=0带入整理后仍然可得：

J(α)=∑i=1nαi−12∑i=1n∑j=1nαiαjyiyj(Xi)TXiJ(α)=∑i=1nαi−12∑i=1n∑j=1nαiαjyiyj(Xi)TXi

而对ξi(i=1,2...n)ξi(i=1,2...n)分别求偏导得到：

C−αi−μi=0C−αi−μi=0

此时的任务仍然是使J(α)J(α)最大化，而此时的限制条件为：

∑i=1nαi=0∑i=1nαi=0

αi≥0αi≥0

μi≥0μi≥0

C−αi−μi=0C−αi−μi=0

后三个限制条件可以合并为一个限制条件：

0≤αi≤C0≤αi≤C

于是此时便可以与之前同样的解法求解αiαi，唯一不同的是，αiαi的值被限定为小于一个设定的常数C。

三、SMO求解算法(简化版)

现在的问题是如何求解αi(i=1,2...n)αi(i=1,2...n)，(显然有多少个样本点，就有多少个αα)，大神Platt给出了SMO算法进行求解，这里可以跟随实际的python代码，一行一行的分析SMO算法的原理，由于代码较复杂，在代码中敲大量注释影响代码清晰性，所以在代码之外进行相应的解释。

1）该段代码进行需要的各种库的导入，最后一行%matplotlib inline是为了保证在jupyter notebook 的运行环境下能够在浏览器上输出绘制的图像。

import numpy as np
import random
import matplotlib.pyplot as plt
import pandas as pd
%matplotlib inline

2）然后用pandas读取txt文件，并调用head方法显示文件的前几行。

file_name = r"D:\python_data\MachineLearningInaction\machinelearninginaction\Ch06\testSet.txt"
file = pd.read_table(file_name,header=None, names=["factor1","factor2","class"])
file.head()

3）可以看到所读取的txt文件的前几行如下图，每个样本有2个特征，类标签分别为+1或-1。



4）接下来再绘制一张样本点分布的散点图，蓝色的是正例，即+1类的点；红色的是负例，即-1类的点。横坐标为“factor1”，纵坐标为“factor2”。

positive = file[file["class"] == 1]
negative = file[file["class"] == -1]
fig, ax = plt.subplots(figsize=(10,5))
ax.scatter(positive["factor1"], positive["factor2"], s=30, c="b", marker="o", label="class 1")
ax.scatter(negative["factor1"], negative["factor2"], s=30, c="r", marker="x", label="class -1")
ax.legend()
ax.set_xlabel("factor1")
ax.set_ylabel("factor2")

5）运行后，在浏览器上输出了如下的图像。



6）现在对数据已经有了清晰直观的了解，接下来需要把pandas读取出来的整个表格进行切分，前2列作为样本点的特征矩阵，最后一列作为类标签向量。下面函数输入的是pandas都取出来的文件file，调用as_matrix方法将其转化为矩阵orig_data，将这个矩阵去除最后一列的部分作为样本点的特征矩阵data_mat，而最后一列作为类标签向量label_mat。

def load_data_set(file):
orig_data = file.as_matrix()
cols = orig_data.shape[1]
data_mat = orig_data[:,0:cols-1]
label_mat = orig_data[:,cols-1:cols]
return data_mat, label_mat

7）接下来调用该函数，得到样本点的特征矩阵data_mat和对应的类标签向量label_mat。

data_mat, label_mat = load_data_set(file)

8）还需要定义一个select_jrand函数，该函数的功能是给定输入i和m，随机输出一个0到m之间的与i不同的整数。这个函数在后面将会用到。

def select_jrand(i, m):
j = i
while(j==i):
j = int(random.uniform(0,m))
return j

9）此外还需要定义一个clip_alpha函数，该函数的功能是输入将aj限制在L和H之间

def clip_alpha(aj, H, L):
if aj > H:
aj = H
if L > aj:
aj = L
return aj

10）接下来是主体功能的实现函数，由于这个函数太长，为了方便理解，将以下代码分成一小段一小段的，这样就可以理解每一小段的功能。

10.1）循环外的初始化工作：首先该函数的输入为特征矩阵、类标签向量，常数C，容错率，最大迭代次数。首先将输入的特征矩阵和类标签向量都转化为矩阵(若特征矩阵和类标签向量已经是矩阵，则不需要这个步骤，若输入的是列表的形式，则需要该步骤)，设置b为0，m和n分别为特征矩阵的行数和列数。创建一个m行1列的αα向量(即有多少个样本点就有多少个αα)，迭代次数初始化为0(每次迭代在αα向量中寻找一对可以改变的αα，若没有找到则迭代次数+1，达到最大迭代次数还没有找到可以改变的αα，说明已经αα已经优化的差不多了，则退出循环)。

10.2）内循环的初始化工作：现在开始第一轮迭代，将改变的一对αα的数量alpha_pairs_changed初始化为0，然后遍历m个αα依次作为第一个αα，再在(0,m)范围内随机的找到第二个αα(第二个αα与第一个不能是同一个，这就用到了之前定义的select_jrand函数)。

10.3)第一小段代码：首先从i等于0开始，已知公式W=∑niαiyiXiW=∑inαiyiXi，若第0号数据点是支持向量，则该数据点必然在虚线WTX+b+1=0WTX+b+1=0或WTX+b−1=0WTX+b−1=0上，即WTX+b=−1WTX+b=−1或WTX+b=+1WTX+b=+1。

先将0号数据点带入公式求出WW，即代码中的WT_i，再将0号数据点和求得的WW带入WTX+bWTX+b求出WTX+bWTX+b的值，即代码中的f_xi。

代码中的E_i为得到的f_xi与实际的WTX+bWTX+b之间的误差，而这个误差大有说道，最完美的情况是若数据点是支持向量，则将数据点带入WTX+bWTX+b应该等于-1或+1，即该数据点应该在虚线WTX+b+1=0WTX+b+1=0或虚线WTX+b−1=0WTX+b−1=0上，而如果该数据点的类标签yiyi和误差E_i的乘积大于容错率，说明该数据点属于+1类且在WTX+b−1=0WTX+b−1=0的上侧，或者该数据点属于-1类且在WTX+b+1=0WTX+b+1=0的下侧。也就是说该点在属于自己的那一类的群体里，但是太靠后了且靠后的超过限度了(即大于容错率)，根本无法作为支持向量，而这个点对应的αα值又大于0，说明这明明就不该是靠后站的，那么就要调整这个数据点的αα了。而另一种情况是该数据点的类标签yiyi和误差E_i的乘积小于负容错率，说明该点太靠前了已经处于虚线WTX+b+1WTX+b+1和虚线WTX+b−1WTX+b−1之间了，且该点的αα值又小于常数C，说明该点也不应该是靠前的，那就要调整这个数据点的αα了

若经过上述判断，决定要调整该数据点的αα，那么就调用之前定义的select_jrand函数随机的选择另一个要调整的αα，对另一个alphaalpha对应的数据点也计算相应的误差E_j，为了记录αα的调整情况，分别copy一下作为αiαi和αjαj的旧值。

10.4）第二小段代码：由于有一个限制条件即∑niαiyi=0∑inαiyi=0，且任意的αα在(0,C)之间，所以当调整其中一个αiαi的时候，另一个αjαj的改变必须有一定限制，即yiαi+yjαj=kyiαi+yjαj=k。即如下图：αiαi和αjαj必须在两条线段上。



根据上图，可以得到αjαj的取值范围(L,H)。

10.5）第三小段代码：下面为αjαj的更新公式：

αj=αj−yj(Ei−Ej)ηαj=αj−yj(Ei−Ej)η

其中η=2<Xi,Xj>−<Xi,Xi>−<Xj,Xj>η=2<Xi,Xj>−<Xi,Xi>−<Xj,Xj>。(尖括号表示两个向量的内积)

更新前先对ηη进行判断，若η≥0η≥0则退出本次循环，不进行更新。否则对αjαj进行更新。更新后需要调用之前定义的clip_alpha函数，将更新后的αjαj缩小在这个范围之内，最后检验一下αjαj值改变了多少，如果改变的太少，就不要更新了，直接退出本次循环寻找下一对αα，改变那点值没什么意义。

最后既然αjαj更新了，αiαi也得随之改变，且该变量应该是相等的，根据之前所述的yiαi+yjαj=kyiαi+yjαj=k，可以得到更新后的αiαi的值。

10.6）第四小段代码：对于样本点i，已经更新了其αiαi值，若b值也是正确的，则该点应该从更新之前的不在WTX+b±1=0WTX+b±1=0上，更新到位于WTX+b±1=0WTX+b±1=0上，亦即将样本点i带入，得到Enewi=WnewTXi+bnew−yi=0Einew=WnewTXi+bnew−yi=0。

同时又已知Eoldi=WoldTXi+bold−yiEiold=WoldTXi+bold−yi，根据上述两个公式，可以得到：

bnew=bold−Eoldi+WoldTXi−WnewTXibnew=bold−Eiold+WoldTXi−WnewTXi

前两项不用多说，最后两项的相减，有些说道，因为W=∑ni=1αiyiXiW=∑i=1nαiyiXi，所以其实WoldWold和WnewWnew的区别只在里面的αiyiXiαiyiXi和αjyjXjαjyjXj不同，只要把公式展开成向量的形式写出来就很容易看出来，二者相减之后的结果就是:

yi(αiold−αinew)<Xi,Xi>+yj(αoldj−αnewj)<Xj,Xi>yi(αiold−αinew)<Xi,Xi>+yj(αjold−αjnew)<Xj,Xi>

将后两项带入，就可以得到bnewbnew。

当然这里得到的是根据样本点i求得的bnewbnew，根据样本点j做同样操作，可以得到另一个bnewbnew，此时若更新后的αiαi在限定范围内，则b=bnew1b=b1new,若αjαj在限定范围内，则b=bnew2b=b2new，若αiαi和αjαj都在限定范围内，则b=b1+b22b=b1+b22。

10.7)收尾工作：若程序运行到此处，则已经更新了一对αα，并且也更新了bb值，则将alpha_pairs_changed加上1，代表更新了一对，继续更新下一对。若程序没有执行更新αα的操作，即alpha_pairs_changed=0，则将iter+1，代表迭代了一次，否则将iter置为1，重新开始迭代。若程序迭代的次数达到了最大迭代次数，还没有αα被更新，说明已经更新的很好了，则可以退出while循环，返回b值和αα向量。

def smo_simple(data_mat, class_label, C, toler, max_iter):
# 循环外的初始化工作
data_mat = np.mat(data_mat); label_mat = np.mat(class_label)
b = 0
m,n = np.shape(data_mat)
alphas = np.zeros((m,1))
iter = 0
while iter < max_iter:
# 内循环的初始化工作
alpha_pairs_changed = 0
for  i in range(m):
# 第一小段代码
WT_i = np.dot(np.multiply(alphas, label_mat).T, data_mat)
f_xi = float(np.dot(WT_i, data_mat[i,:].T)) + b
Ei = f_xi - float(label_mat[i])
if((label_mat[i]*Ei < -toler) and  (alphas[i] < C)) or \
((label_mat[i]*Ei > toler) and (alphas[i] > 0)):
j = select_jrand(i, m)
WT_j = np.dot(np.multiply(alphas, label_mat).T, data_mat)
f_xj = float(np.dot(WT_j, data_mat[j,:].T)) + b
Ej = f_xj - float(label_mat[j])
alpha_iold = alphas[i].copy()
alpha_jold = alphas[j].copy()

# 第二小段代码
if (label_mat[i] != label_mat[j]):
L = max(0, alphas[j] - alphas[i])  #
H = min(C, C + alphas[j] - alphas[i])
else:
L = max(0, alphas[j] + alphas[i] - C)
H = min(C, alphas[j] + alphas[i])
if H == L :continue

# 第三小段代码
eta = 2.0 * data_mat[i,:]*data_mat[j,:].T - data_mat[i,:]*data_mat[i,:].T - \
data_mat[j,:]*data_mat[j,:].T
if eta >= 0: continue
alphas[j] = (alphas[j] - label_mat[j]*(Ei - Ej))/eta
alphas[j] = clip_alpha(alphas[j], H, L)
if (abs(alphas[j] - alpha_jold) < 0.00001):
continue

alphas[i] = alphas[i] + label_mat[j]*label_mat[i]*(alpha_jold - alphas[j])

# 第四小段代码
b1 = b - Ei + label_mat[i]*(alpha_iold - alphas[i])*np.dot(data_mat[i,:], data_mat[i,:].T) +\
label_mat[j]*(alpha_jold - alphas[j])*np.dot(data_mat[i,:], data_mat[j,:].T)
b2 = b - Ej + label_mat[i]*(alpha_iold - alphas[i])*np.dot(data_mat[i,:], data_mat[j,:].T) +\
label_mat[j]*(alpha_jold - alphas[j])*np.dot(data_mat[j,:], data_mat[j,:].T)
if (0 < alphas[i]) and (C > alphas[i]):
b = b1
elif (0 < alphas[j]) and (C > alphas[j]):
b = b2
else:
b = (b1 + b2)/2.0
alpha_pairs_changed += 1
if (alpha_pairs_changed == 0): iter += 1
else: iter = 0
return b, alphas

11）接下来调用该函数，得到b值和αα向量，由于αα的值大多为0，所以只打印大于零的αα值。

b, alphas = smo_simple(data_mat, label_mat, 0.6, 0.001, 10)
print(b, alphas[alphas>0])

12）辛辛苦苦走到这里，就看到几个所谓的αα和一个b值，真的不够。“锦瑟无端五十弦，一弦一柱思华年”，每一个算法的推导，每一段代码的理解，都给我留下了深刻的印象。过程的享受是一种润物无声的细腻，但我想要的更是成功之后那会“当凌绝顶，一览众山小”的快意，更要那“冲天香阵透长安，满城尽戴黄金甲”的震撼。于是，我又敲下了如下代码，得到了，那虽不太完美，却凝聚了我心血的分、割、线。

support_x = []
support_y = []
class1_x = []
class1_y = []
class01_x = []
class01_y = []
for i in range(100):
if alphas[i] > 0.0:
support_x.append(data_mat[i,0])
support_y.append(data_mat[i,1])
for i in range(100):
if label_mat[i] == 1:
class1_x.append(data_mat[i,0])
class1_y.append(data_mat[i,1])
else:
class01_x.append(data_mat[i,0])
class01_y.append(data_mat[i,1])
w_best = np.dot(np.multiply(alphas, label_mat).T, data_mat)
fig, ax = plt.subplots(figsize=(10,5))
ax.scatter(support_x, support_y, s=100, c="y", marker="v", label="support_v")
ax.scatter(class1_x, class1_y, s=30, c="b", marker="o", label="class 1")
ax.scatter(class01_x, class01_y, s=30, c="r", marker="x", label="class -1")
lin_x = np.linspace(3,6)
lin_y = (-float(b) - w_best[0,0]*lin_x) / w_best[0,1]
plt.plot(lin_x, lin_y, color="black")
ax.legend()
ax.set_xlabel("factor1")
ax.set_ylabel("factor2")

+++++++++++刚好在这一刻，2018年的蓝色月全食发生了+++++++++++++++

++++++向月全食致敬，祝我一年好运气，2018.1.31，19：41月全食++++++++