动态规划之01背包，完全背包，分组背包

一：01背包

每样物品只能取一件

状态转移方程 f[i][v]=max(f[i-1][v],f[i-1][v-weight[i]]+cost[i])

f[i][v]表示前i件物品装入v的空间里的最大价值，考虑第i件物品是否放入的问题，一种是不放入那就是前i-1件物品放入v中，另一种考虑放入则是前i-1件物品放入v-weight[i]空间的最大值

将空间缩减成VN

for (int i = 0; i != n; ++i)
{
for (int v = V; v >= things[i].weight; --v)
{
f[x] = max(f[x], f[x - things[i].weight] + things[i].price);
}
}

二：完全背包

由01背包联想，将每个物品能放的最大数量，按照二进制的形式分成一个一个的小物品，例如5个1物品，能分成4个1物品和1个1物品，然后将4个1物品当成一个放入01背包中，将1个1物品放入完全背包中，时间复杂度为超O(VN)

若想时间复杂度不超，则模板

for (int i = 0; i != n; ++i)
{
for (int v = things[i].weight; v <= V; ++v)
{
f[x] = max(f[x], f[x - things[i].weight] + things[i].price);
}
}

三：多重背包

有N种物品和一个容量为V的背包。第i种物品最多有n[i]件可用，每件费用是c[i]，价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量，且价值总和最大。 

void 01bag(int a,int b)//a表示价格，b表示重量
{
for (int v = V; v >= b; --b)
{
f[v] = max(f[v], f[v - b] + a);
}
}

void completebag(int a, int b) //a表示价格，b表示重量
{
for (int v = b; v <= V; ++v)
{
f[v] = max(f[v], f[v - b] + a);
}
}

void multibag(int a, int b, int c)//多重背包c表示数量
{
if (b*c >= V)
{
completebag(a, b);
return;
}
int k = 1;
while (c>=k)
{
01bag(a*k, b*k);
c = c - k;
k *= 2;
}
01bag(c*a, b*a);
}