【图】最小生成树（最小成本）：克鲁斯卡尔（Kruskal）算法

给出一个连通网：

克鲁斯卡尔（Kruskal）算法

基本思想

假设 N=(V,{E}) 是连通网：

令最小生成树的初始状态为只有 n 个顶点并且没有边的非连通图 T={V,{}} ，图中每个顶点自成一个连通分量。

在 E 中选择代价最小的边，若该边的两个顶点落在 T 中不同的连通分量上，则将此边加入到 T 中，否则就舍去此边而选择下一条代价最小的边。

以此类推，直至 T 中所有顶点都在同一连通分量上为止。

克鲁斯卡尔算法主要针对边来展开，边数少时效率会非常高，所以对稀疏图有很大的优势；

而普里姆算法对于稠密图，即边数非常多的情况会更好一些。

图解

1、将连通网中的边转化为边集数组，并对它们按权值从小到大排序。



2、去掉所有边，得到 T={A,B,C,D,E,F,G,H,I,{}}。

3、对边集数组做循环遍历，开始时，i=0，找到第 1 条边，两顶点为 E 与 H，分别属于两棵树（两个连通分量），所以添加进 T={A,B,C,D,E,F,G,H,I,{(E,H)}}。





4、i=1，找到第 2 条边，两顶点为 C 与 I，分别属于两棵树（两个连通分量），所以添加进 T={A,B,C,D,E,F,G,H,I,{(E,H),(C,I)}}。

5、i=2，找到第 3 条边，两顶点为 A 与 B，分别属于两棵树（两个连通分量），所以添加进 T={A,B,C,D,E,F,G,H,I,{(E,H),(C,I),(A,B)}}。





6、i=3，找到第 4 条边，两顶点为 A 与 F，分别属于两棵树（两个连通分量），所以添加进 T={A,B,C,D,E,F,G,H,I,{(E,H),(C,I),(A,B),(A,F)}}

7、i=4，找到第 5 条边，两顶点为 B 与 I，分别属于两棵树（两个连通分量），所以添加进 T={A,B,C,D,E,F,G,H,I,{(E,H),(C,I),(A,B),(A,F),(B,I)}}





8、i=5，找到第 6 条边，两顶点为 D 与 H，分别属于两棵树（两个连通分量），所以添加进 T={A,B,C,D,E,F,G,H,I,{(E,H),(C,I),(A,B),(A,F),(B,I),(D,H)}}

9、i=6，找到第 7 条边，两顶点为 B 与 G，分别属于两棵树（两个连通分量），所以添加进 T={A,B,C,D,E,F,G,H,I,{(E,H),(C,I),(A,B),(A,F),(B,I),(D,H),(B,G)}}





10、i=7，找到第 8 条边，两顶点为 G 与 F，它们属于同一棵树，舍去。再找 i=8，两顶点为 B 与 C，它们属于同一棵树，舍去。再找 i=9，两顶点为 G 与 H，分别属于两棵树（两个连通分量），所以添加进 T={A,B,C,D,E,F,G,H,I,{(E,H),(C,I),(A,B),(A,F),(B,I),(D,H),(B,G),(G,H)}}。

11、此后的循环均造成环路，最终最小生成树如下。

时间复杂度

找边的两顶点是否属于同一棵树的时间复杂度为 O(loge)，而外面有一个 for 循环 e 次。所以克鲁斯卡尔算法的时间复杂度为 O(eloge)（e 表示边的条数）。