DirectX 11 射线和3D物体的碰撞检测（Ray AABB）

数学部分

A.1 平面的直线方程（法线式）：x·cosα+y·sinα-d=0（α为直线倾斜角，d为原点到该直线的最短距离）



A.2 空间的平面方程（法线式）：x·cosα+y·cosβ+z·cosγ-d=0（α、β、γ为平面绕三个轴的旋转角（欧拉），d为原点到该平面的最短距离）

▲实际A.2是A.1二维到三维的递推公式。

▲A.1只有α没有β是因为其中的y·sinα就等于y·cosβ

令射线从点O发射，方向向量为f，则有

B.1射线公式：r = f·t+O （参照初中直线方程y=kx+b）

借助公式A.2，则有

B.2参与碰撞检测的平面公式：P·n = d

▲B.2相对难懂，补充一下：

参考前面的A.2，P为平面上任意点（在这里为射线和平面之交），n为平面的法向量的方向余弦，d为原点到该平面的距离。

所以设P为（x，y，z），设n的方向余弦为（α，β，γ），则P·n实际就等于x·cosα+y·cosβ+z·cosγ，没毛病。

因为射线和平面相交，且交点为P，则结合B.1，B.2得

B.3 （f·t+O）·n = d

可推导出

B.4 t = （d - O·n）/（f·n）

△肯定要先推导出t，这样才能求出在射线的什么位置和平面相交。

矩阵变换

我的使用场景是通过点击鼠标发送射线，因为本文只讲解碰撞算法的检测，故对如何把鼠标坐标转化成直线的问题，不做赘述。

通过鼠标获取的射线目前处于 view 矩阵，而我们要计算碰撞检测的物体处于 local 矩阵。肯定要把两个物体的坐标参照矩阵转化成相同的，才能进行碰撞检测计算，只是转化谁比较合适的问题。DX11 龙书 16.2 章给出的建议是将射线的 view 矩阵转化成 local，而碰撞物体的 local 不变。

Local 坐标转化为 View 坐标可通过 C（View）= C（Local）* M（World）* M（View） 的方法转换，而我们需要的是从 View 坐标逆推回 Local 坐标，则得到公式 C（Local）= C（View）* invM（View）* invM（World），其中 invM 表示 M 的逆矩阵。更细节处和本问题无关，可参考龙书，在此省略。

在将射线从 View 转化为碰撞物体的 Local 坐标后，才可以开始进行碰撞检测。

基于slab的碰撞检测

本文采用基于 slab 的算法进行碰撞检测。slab 算法不是我的原创，只给出关键图，原理讲解部分省略。



从二维扩展到三维，检测碰撞只需要判断物体的 x-slab，y-slab，z-slab 之间是否有公共区域。

而在本文中，表现射线的区间位置的关键变量，是 B.4 中的 t。

令 O =（Ox，Oy，Oz），射线方向 f =（fx，fy，fz）

C.1 则取 x 坐标，x-slab 的计算方法为 t =（d - O·Ox）/ f·fx。y，z 方向同理。（使用公式 B.4）

之前在 A.2 中说过，d 是原点到平面的距离。在这里表示原点到 AABB 包围盒的距离。而 AABB 包围盒是一个和三轴对齐的立方体，因此只需得到 AABB 的 min 坐标和 max 坐标，就可以得知 +x，-x，+y，-y，+z，-z 六个方向的 d 值。

可在 x-slab 中算出 t 在 +x，-x 方向的 d 值。y，z 方向同理。（使用 C.1）

在得到六个方向的 d 值后，剩下的就是判断区间 [dx+，dx-]，[dy+，dy-]，[dz+，dz-] 是否存在公共区域。如果 dx-，dy-，dz- 中的最大值 < dx+，dy+，dz+ 的最小值，则三段区间必有公共区域。则射线和物体的AABB必相交。