【数学】复数的物理意义是什么？

作者：Heinrich

链接：https://www.zhihu.com/question/23234701/answer/26017000

来源：知乎

著作权归作者所有。商业转载请联系作者获得授权，非商业转载请注明出处。

这个必须回答！

复数最直观的理解就是旋转！

4*i*i = -4

就是“4”在数轴上旋转了180度。

那么4*i就是旋转了90度。

<img src="https://oscdn.geek-share.com/Uploads/Images/Content/201801/bb25400e69295160635744db0ed37e2e.jpg" data-rawwidth="1000" data-rawheight="800" class="origin_image zh-lightbox-thumb" width="1000" data-original="https://pic2.zhimg.com/8307ff7d73681da79ad77cc09e71a28f_r.jpg">


另外，e^t是什么样呢？

<img src="https://oscdn.geek-share.com/Uploads/Images/Content/201801/476bc3a7959b9141cc83e8f604563463.jpg" data-rawwidth="800" data-rawheight="600" class="origin_image zh-lightbox-thumb" width="800" data-original="https://pic1.zhimg.com/67eb5377af1dfca0e2cbea6637076e96_r.jpg">

但当你在指数上加上i之后呢？

<img src="https://oscdn.geek-share.com/Uploads/Images/Content/201801/90387d7bd5de568d84af0744d4fc24a3.jpg" data-rawwidth="2000" data-rawheight="999" class="origin_image zh-lightbox-thumb" width="2000" data-original="https://pic4.zhimg.com/3af2b68b0bc9802a3cce9d6f56f3bbf1_r.jpg">

变成了一个螺旋线。是不是和电磁场很像？（想拿欧拉公式去跟女生炫学术的男生注意了：她们，真的，不CARE）

当然，更重要的意义在于复数运算保留了二维信息。

假如我让你计算3+5，虽然你可以轻松的计算出8，但是如果让你分解8你会有无数种分解的方法，3和5原始在各自维度上的信息被覆盖了。

但是计算3+5i的话，你依然可以分解出实部和虚部，就像上图那样。

基于以上两个理由，用复数来描述电场与磁场简直完美到爆棚！

我们即可以让电场强度与复数磁场强度相加而不损失各自的信息，又满足了电场与磁场90度垂直的要求。另外，一旦我们需要让任何一个场旋转90度，只要乘一个“i”就可以了

<img src="https://oscdn.geek-share.com/Uploads/Images/Content/201801/2d06bbea3a0c2c3bc3cbaff0470c3ebb.jpg" data-rawwidth="426" data-rawheight="457" class="origin_image zh-lightbox-thumb" width="426" data-original="https://pic2.zhimg.com/78ed7fd1c151b358445ef5697af9c6b0_r.jpg">


受

@physixfan

答案的提醒，再补充一点。

正弦波在频域可以看作是自然数中的“1”，可以构成其他数字的基础元素。当你需要5的时候，你可以看成是1*5（基础元素的五倍）也看以看成2+3（一个基础元素2倍与基础元素3倍的和）。这些用基础元素构成新元素的运算是线性运算。

但是现在你如何用线性运算吧2sin（wt）变换成4sin（wt+pi/6）呢？

利用欧拉公式，我们可以将任何一个正弦波看作其在实轴上的投影。假如两个不同的正弦波，可以用数学表达为：

<img src="https://oscdn.geek-share.com/Uploads/Images/Content/201801/c9cae7471a0f4f39f2ca11d1dbf7f7e9.jpg" data-rawwidth="48" data-rawheight="60" class="content_image" width="48">


好了，现在如果我想用第一个正弦波利用线性变换为第二个，我们就只需要将A乘对应的系数使其放大至B（本例为乘2），然后将θ1加上一定的角度使其变为θ2（本例为加30度），然后将得到的第二个虚数重新投影回实轴，就完成了在实数中完全无法做到的变换。

这种利用复指数来计算正弦波的方法也对电磁波极其适用，因为电磁波都是正弦波，当我们需要一个电磁波在时间上延迟/提前，或是在空间上前移/后移，只需要乘一个复指数就可以完成对相位的调整了。

（图1图3系自制，转载不注明出处注定一辈子学理工没女朋友）

题主关注我的专栏吧，近期会写科普傅里叶的东西……与时间无关的故事 - 知乎专栏