数据结构与算法系列之一:八大排序之堆排序
2018-01-09 16:14
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博客作者:WordZzzz,一只热爱技术的文艺青年
堆排序
前言
简介
步骤
演示
代码
递归版
迭代版
算法复杂度
分析
通常堆是通过一维数组来实现的。在数组起始位置为0的情形中:
父节点i的左子节点在位置 (2i+1)。
父节点i的右子节点在位置 (2i+2)。
子节点i的父节点在位置 floor((i−1)/2)。
在堆的数据结构中,堆中的最大值总是位于根节点(在优先队列中使用堆的话堆中的最小值位于根节点)。堆中定义以下几种操作:
最大堆调整(Max_Heapify):将堆的末端子节点作调整,使得子节点永远小于父节点。
创建最大堆(Build_Max_Heap):将堆所有数据重新排序。
堆排序(HeapSort):移除位在第一个数据的根节点,并做最大堆调整的递归运算。
创建一个堆 H[0..n−1]。
把堆首(最大值)和堆尾互换。
把堆的尺寸缩小1,并调用shift_down(0),目的是把新的数组顶端数据调整到相应位置。
重复步骤2,直到堆的尺寸为1。
最坏时间复杂度 O(nlogn)
最优时间复杂度 O(nlogn)
平均时间复杂度 O(nlogn)
空间复杂度 O(n) total, O(1) auxiliary
整个算法的过程分为建堆和排序两个过程,首先对现有数组建立最大堆,然后一边提取堆顶的最大值,一边减小堆的尺寸,最后堆尺寸为1时,排序也就完成了。如果大家对整个算法的执行过程不太了解,可以看一下下面这两张图,第一张是建堆的过程示意图,第二张是排序的过程示意图。图片来自:http://bubkoo.com/2014/01/14/sort-algorithm/heap-sort/
系列教程持续发布中,欢迎订阅、关注、收藏、评论、点赞哦~~( ̄▽ ̄~)~
完的汪(∪。∪)。。。zzz
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代码地址:https://github.com/WordZzzz/Note/tree/master/DS-A
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堆排序
前言
简介
步骤
演示
代码
递归版
迭代版
算法复杂度
分析
堆排序
前言
建议先看排序综述,传送门:数据结构与算法系列之一:八大排序综述。简介
堆排序(Heapsort)是指利用堆这种数据结构所设计的一种排序算法。堆积是一个近似完全二叉树的结构,并同时满足堆积的性质:即子结点的键值或索引总是小于(或者大于)它的父节点。通常堆是通过一维数组来实现的。在数组起始位置为0的情形中:
父节点i的左子节点在位置 (2i+1)。
父节点i的右子节点在位置 (2i+2)。
子节点i的父节点在位置 floor((i−1)/2)。
在堆的数据结构中,堆中的最大值总是位于根节点(在优先队列中使用堆的话堆中的最小值位于根节点)。堆中定义以下几种操作:
最大堆调整(Max_Heapify):将堆的末端子节点作调整,使得子节点永远小于父节点。
创建最大堆(Build_Max_Heap):将堆所有数据重新排序。
堆排序(HeapSort):移除位在第一个数据的根节点,并做最大堆调整的递归运算。
步骤
基于以上堆相关的操作,我们可以很容易的定义堆排序。例如,假设我们已经读入一系列数据并创建了一个堆,一个最直观的算法就是反复的调用del_max()函数,因为该函数总是能够返回堆中最大的值,然后把它从堆中删除,从而对这一系列返回值的输出就得到了该序列的降序排列。真正的原地堆排序使用了另外一个小技巧。堆排序的过程是:创建一个堆 H[0..n−1]。
把堆首(最大值)和堆尾互换。
把堆的尺寸缩小1,并调用shift_down(0),目的是把新的数组顶端数据调整到相应位置。
重复步骤2,直到堆的尺寸为1。
演示
wikipedia的大数据规模演示:代码
递归版
/* * 堆排序递归版 */ template <typename T> void MaxHeapifyRecursive(T *array, int i, int heapSize) { int sonl = 2 * i + 1; int sonr = 2 * i + 2; int dad = i; if (sonl <= heapSize && array[sonl]>array[i]){ //如果左子结点大于父结点,则父结点指向子结点 dad = sonl; } if (sonr <= heapSize && array[sonr]>array[dad]){ //如果右子结点大于父结点,则父结点指向子结点 dad = sonr; } if (dad != i){ //如果dad != i则说明父结点不是最大值,交换后递归执行MaxHeapifyRecursive swap(array[i], array[dad]); MaxHeapifyRecursive(array, dad, heapSize); } } template <typename T> void HeapSort(T *array, const int length) { if (array == NULL) throw invalid_argument("Array must not be empty"); if (length <= 0) return; //初始化,i从最后一个父结点开始调整 for (int i = length / 2 - 1; i >= 0; --i){ //构建最大堆 MaxHeapifyRecursive(array, i, length - 1); // MaxHeapifyIteration(array, i, length - 1); } //先将第一个元素和已经排好的元素前一位做交换,再从新调整(刚调整的元素之前的元素),直到排序完毕 for (int i = length - 1; i >= 0; --i){ swap(array[0], array[i]); MaxHeapifyRecursive(array, 0, i - 1); // MaxHeapifyIteration(array, 0, i - 1); } }
迭代版
/* * 堆排序迭代版 */ template <typename T> void MaxHeapifyIteration(T *array, int left, int right) { //建立父结点指针和子结点指针 int dad = left; int son = dad * 2 + 1; while (son <= right) { //若子结点指针在范围内才做比较 if (son + 1 <= right && array[son] < array[son + 1]) //先比较两个子结点的大小,选择最大的 son++; if (array[dad] > array[son]) //如果父结点大于子结点代表调整完毕,直接跳出循环 return; else { //否则交换父子内容在继续子结点和孙结点的比较 swap(array[dad], array[son]); dad = son; son = dad * 2 + 1; } } } template <typename T> void HeapSort(T *array, const int length) { if (array == NULL) throw invalid_argument("Array must not be empty"); if (length <= 0) return; //初始化,i从最后一个父结点开始调整 for (int i = length / 2 - 1; i >= 0; --i){ //构建最大堆 // MaxHeapifyRecursive(array, i, length - 1); MaxHeapifyIteration(array, i, length - 1); } //先将第一个元素和已经排好的元素前一位做交换,再从新调整(刚调整的元素之前的元素),直到排序完毕 for (int i = length - 1; i >= 0; --i){ swap(array[0], array[i]); // MaxHeapifyRecursive(array, 0, i - 1); MaxHeapifyIteration(array, 0, i - 1); } }
算法复杂度
数据结构 数组最坏时间复杂度 O(nlogn)
最优时间复杂度 O(nlogn)
平均时间复杂度 O(nlogn)
空间复杂度 O(n) total, O(1) auxiliary
分析
原地堆排序已经是空间优化版本了,因为它不再需要申请额外的空间。整个算法的过程分为建堆和排序两个过程,首先对现有数组建立最大堆,然后一边提取堆顶的最大值,一边减小堆的尺寸,最后堆尺寸为1时,排序也就完成了。如果大家对整个算法的执行过程不太了解,可以看一下下面这两张图,第一张是建堆的过程示意图,第二张是排序的过程示意图。图片来自:http://bubkoo.com/2014/01/14/sort-algorithm/heap-sort/
系列教程持续发布中,欢迎订阅、关注、收藏、评论、点赞哦~~( ̄▽ ̄~)~
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