两个重要极限及相关推导极限

两个重要极限：

①limx→0sinxx=1

②limx→∞(1+1x)x=e

关于重要极限①的推导极限可以参考： 无穷小的等价代换

由重要极限②可以推导出：

limx→∞(1+1x)x⇒limx→0(1+x)1x=e

重要极限②的例题

例：求limx→∞(1+2x+3)x

解：

limx→∞(1+2x+3)x

=limx→∞(1+1x+32)(x+32)⋅2−3

=limx→∞(1+1x+32)x+32⋅2⋅(1+1x+32)−3

=limx→∞(1+1x+32)x+32⋅2

=e2

关于重要极限②，还有一个变体例题，很容易迷惑人，但实际上并不是用重要极限的方法来做

例：求limx→∞(1+2x)1x

解：

(1+2x)1x=eln(1+2x)1x=eln(1+2x)x

所以：

limx→∞(1+2x)1x=limx→∞eln(1+2x)x=elimx→∞ln(1+2x)x

应用洛必达法则，得：

elimx→∞ln(1+2x)x=elimx→∞21+2x=e0=1