组合数的求法总结

O(n^2)

杨辉三角递推

C(i,j)=C(i−1,j)+C(i−1,j−1)

题目详见NOIP2016D2T1

code

for(int i=2;i<=maxn;i++)
for(int j=2;j<i;j++)
c[i][j]=(c[i-1][j]+c[i-1][j-1])%k;

利用乘法逆元

乘法逆元：(a/b)%p=a∗(bp−2) （p为素数）

如果p为素数，那么k的逆元就是k(p−2)

逆元可以利用扩展欧几里德或欧拉函数求得

C(N,M)=N!/(M!∗(N−M)!)

那么可以先计算出N!,M!,(N-M)!对p取模的余数，那么转化为a/b=x的问题

因为p为素数，所以等价于bx+py=a

然后用扩展的欧几里得定理算出 bx′+py′=1的解，

x=x′∗a

就得到了最终的x的值，即C(m,n)得值

题目详见雅礼集训题目

code

ll inv(ll a){
return a==1?1:(ll)(p-p/a)*inv(p%a)%p;
}

ll C(ll n,ll m){
if(m<0||n<m)return 0;if(m>n-m)m=n-m;
ll up=1,down=1;
rep(i,0,m-1){up=up*(n-i)%p;down=down*(i+1)%p;}
return up*inv(down)%p;
}

Lucas求组合数

用Lucas定理求组合数，适用于模数p较小的情况

Lucas(n,m,p)=C(n%p,m%p)∗Lucas(n/p,m/p,p)

题目详见洛谷2675

code

void work()
{
fac[0]=fac[1]=inv[0]=inv[1]=1;
rep(i,2,p-1)fac[i]=fac[i-1]*i%p;  //阶乘预处理
rep(i,2,p-1)inv[i]=(p-p/i)*inv[p%i]%p;
rep(i,1,p-1)inv[i]=inv[i-1]*inv[i]%p;  //逆元预处理
}
ll C(ll n,ll m)
{
if(n<m)return 0;  //舍去组合数无意义的情况
if(n<p&&m<p)return fac
*inv[m]%p*inv[n-m]%p;
return C(n/p,m/p)*C(n%p,m%p)%p;
}