CodeForces 201 E.Thoroughly Bureaucratic Organization（贪心+二分+鸽巢原理）

Description

有一个1~n的排列，每次询问至多可以询问m个位置的数字，但是只会给出乱序后的这些数字，问最坏情况下最少多少次可以还原整个序列

Input

第一行一整数T表示用例组数，每组用例输入两个整数n,m(1≤T≤1000,1≤n,m≤109)

Output

对于每组用例，输出最坏情况下还原整个序列所需的最少询问次数

Sample Input

5

4 1

4 2

7 3

1 1

42 7

Sample Output

3

2

3

0

11

Solution

如果对于任意k，可以知道k次询问，每次询问至多问m个数字可以还原的最长排列长度为n，那么就可以二分得到答案，把每个数字在这k次询问是否被问到看作一个长度为k的01串，第i次询问了这个数字则第i位是1，否则是0，那么我们要找的是尽可能多的这种串，且串之间两两可区分，且对于所有串的某一位，其1的个数不能超过m，因为一次询问至多询问m个数字，首先不考虑这个限制，那么就是至多用km个1去构造尽可能多的可两两区分的长度为k的01串，那么我们可以贪心的先构造C1k个只含一个1且位置不同的串，然后构造C2k个只含两个1且这两个1位置不完全相同的串，….，以此类推可以得到尽可能多的串，下面证明加入这个限制和不加是一样的，假设i位的1的数量大于，那么由于总数不超过km，所以必然存在一个j位其1的数量小于m，记x为第i位是1且第j位是0的串的个数，y为第i位是0且第j位是1的串的个数，显然x>y，从x中选一个串，交换其在第i位和第j位的值，结果是要么该串变成一个和其他串都可区分的串，要么其和这y个串中某一个相同，由于x>y，由鸽巢原理，必然存在一个串，交换其两位后和这y个串均不相同，那么这个串和其他所有串都可区分，x的数量减一，经过有限次这样的操作，必然可以使得那些使用超过m个1的位消失，故该限制没用

Code

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<vector>
#include<queue>
#include<map>
#include<set>
#include<ctime>
using namespace std;
typedef long long ll;
int T,n,m;
bool check(int k)
{
if(n==1)return 1;
ll num=(ll)m*k,res=1,C=1;
for(int i=1;i<=k;i++)
{
if(num<i)return 0;
if((ll)(k-i+1)*C>=(ll)n*i)C=n;
else C=C*(k-i+1)/i;
ll temp=min(num/i,C);
res+=temp;
if(res>=n)return 1;
num-=temp*i;
}
return 0;
}
int main()
{
scanf("%d",&T);
while(T--)
{
scanf("%d%d",&n,&m);
int l=0,r=n,mid,ans;
while(l<=r)
{
mid=(l+r)/2;
if(check(mid))ans=mid,r=mid-1;
else l=mid+1;
}
printf("%d\n",ans);
}
return 0;
}