Java 中的真值、机器数、原码、反码和补码:为什么整形的取值范围 不是对称的，比如 byte的取值范围为 -128到127，而不是-128到128或者-127到127？

首先，真值、机器数、原码、反码和补码这几个概念并不是Java独有的，而是真个计算机世界中通行的概念。

真值：就是我们日常说的十进制的正数，负数和0，比如-1，-2，-100，0,1，2，1000,100000等等。

机器数：首先，在计算机中使用二进制表示数值，也就是0或者1，其次计算机中有一个数位的概念，比如8位二进制数，16位二进制数，等等。最后，计算机中，第一位二进制数用以表示正负，且规定0为正，即+，1为负，即0为-。这种带有正负符号以及值的组合就是机器数，“机读得懂正负的数字”就是机器数。

然后我们以8位二进制数举例：-1是10000001，-2是10000010，第一个1表示负数的意思，+1为00000001，+2为00000010，第一个0表示正数。

而原码、反码和补码都是机器数的一种。

原码、反码和补码有两层含义的关系，第一层是形式变换的关系，第二层是数学变换的关系，下面我们一一道来。、

第一层是形式变换：

这里再次强调，将机器数需要注意位数的概念，即8位或者16位，或者其他，本文使用8位二进制数。

真值变为原码就是，首位表示正负，0为正，1为负，值的部分变为二进制。正如上文的例子-1是10000001，-2是10000010，第一个1表示负数的意思，+1为00000001，+2为00000010，第一个0表示正数。那么0在原码中是不是有两种表示法呢？是的，+0和-0，即00000000和10000000。对于8位二进制数来说，原码的取值范围是11111111到01111111，其对应的真值取值范围是-127到127，其中0对应+0和-0两个原码。

反码是在原码的基础上拓展出来的一种概念，比如+5和-5的原码数分别为00000101和10000101。正数的反码是其本身，负数的反码是除符号位外其他位取反（0变为1,1变为0），+0按照正数的规则，-0按照负数的规则，那么原码00000000的反码还是00000000,原码10000000的反码是11111111。对于8位二进制数来说，反码的取值范围是11111111到011111111，其对应的真值的取值范围是-127到127，其中0对应+0和-0两个反码。

而且这里需要说到一个模型：正负真值的反码求和为11111111，但是原码没有这个规律。

【+5】真值  【00000101】原   【00000101】反

【-5】真值   【10000101】原     【11111010】反

求和  【0】真值   【10001010】原   【11111111】反   

然后，该补码出场了，正负真值的反码求和是11111111，但是不是0啊，所以规定负数的补码是反码加1，那么正负真值的补码求和就是（1）0000000，最高位会被舍去哦。

而且，+0的补码是00000000，-0的补码也是00000000，这里补码里0只占用了一个标识符，多出了一个10000000，这里补码10000000其实对应真值部分的-128。

总结，正数和+0的原码、反码、补码都是一样的。负数和-0的反码是其原码的符号位外其他位取反（0变为1,1变为0）

第一张图总体看



第二层是数学变换：

这里再次重申一下本文是以8位二进制数来进行的。

之所以强调是8位二进制数，因为这意味着我们所能表示的最高位的数是一定的，因为数值达到一定位置会被自动舍弃，如下的模型：





在这种具有累进关系的模型中（数学中称之为模）：

所以就很神奇了，由于8位二进制数的限制，当两个数相加超过128时，进位的操作就会留取剩余的部分。又由于这种累进的关系，我们可以使用正数取代负数，

正如上图-1和127处于同一个位置。所以，补码是这个变换过程之后的二进制表示，而10000000正好是真值-128，这样8位的二进制数在补码的时候可以表示的

真值范围就是-128到127，而Java正好是使用补码表示数字的，所以byte类型是8位，取值范围是-128到127

下图展示了补码通过mod的方式还原为真值的过程，