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自适应辛普森公式

辛普森公式是数值方法中常用的计算函数定积分的近似方法。

计算定积分的方法

辛普森公式的推导

其他N-C公式

自适应方法

计算定积分的方法

求原函数

直接查表

这个求不出来怎么办∫x0t3et−1dt∫0xt3et−1dt

那就不求原函数

数值积分

辛普森公式的推导

辛普森（Simpson）公式是牛顿-科特斯公式当n=2时的情形，也称为三点公式。利用区间二等分的三个点来进行积分插值。其科特斯系数分别为1/6，4/6，1/6。 —— [ 百度百科 ]

于是我们引入了辛普森公式

∀f(x)=a1x3+a2x2+a3x+a4∀f(x)=a1x3+a2x2+a3x+a4

∫baf(x)dx=Δx[(f(a)+4f(a+b2)+f(b)]3∫abf(x)dx=Δx[(f(a)+4f(a+b2)+f(b)]3

Δx=a+b2Δx=a+b2

怎么推导呢？

配方法！！

∫baf(x)dx=Δx[(f(a)+4f(a+b2)+f(b)]3∫abf(x)dx=Δx[(f(a)+4f(a+b2)+f(b)]3

=14a1(a4−b4)+13a2(a3−b3)+12a2(a2−b2)+a3(a−b)=14a1(a4−b4)+13a2(a3−b3)+12a2(a2−b2)+a3(a−b)

=b−a2{13(a1a3+a2a2+a3a+a4)+43[a1(a+b2)3+a2(a+b2)2+a3a+b2+a4]+13(a1b3+a2b2+a3b+a4)}=b−a2{13(a1a3+a2a2+a3a+a4)+43[a1(a+b2)3+a2(a+b2)2+a3a+b2+a4]+13(a1b3+a2b2+a3b+a4)}

=a+b2(f(a)+4f(a+b2)+f(b)3=a+b2(f(a)+4f(a+b2)+f(b)3

这就说明了：

任何一个不大于三次的函数的定积分都可以写成这样的辛普森公式！

有什么用呢？

用来近似！

假装其他函数的某一部分是一个不大于三次的函数

那么它的定积分也就好求了

用辛普森公式就行了

先用Simpson公式近似，万一近似导致误差太大，那么就二分，分成两段区间分别近似。

怎么近似呢？

直接带公式啊

什么叫误差太大呢？

先算区间A=Simpson(a,b)A=Simpson(a,b)的近似值，然后分别算一下L=Simpson(a,a+b2)L=Simpson(a,a+b2)和R=Simpson(a+b2,b)R=Simpson(a+b2,b)的近似值

假如L+R−A≤15∗σ(σ是预设的精度)L+R−A≤15∗σ(σ是预设的精度)

那么我们就需要分别重新计算(a,a+b2)(a+b2,b)(a,a+b2)(a+b2,b)的积分值

此时精度的限制要缩小一半

然后我用Java实现了一下

发现貌似记得太清楚了

跟lrj老师写的一模一样

class Simpson {
// 三点simpson法
public double simpson(double a, double b) {
double c = a + (b-a)/2;
return (F(a)+4*F(c)+F(b))*(b-a)/6;
}

// 自适应Simpson公式（递归过程）。已知整个区间[a,b]上的三点simpson值A
public double asr(double a, double b, double eps, double A) {
double c = a + (b-a)/2;
double L = simpson(a, c), R = simpson(c, b);
if(Math.abs(L+R-A) <= 15*eps) return L+R+(L+R-A)/15.0;
return asr(a, c, eps/2, L) + asr(c, b, eps/2, R);
}

// 自适应Simpson公式（主过程）
public double asr(double a, double b, double eps) {
return asr(a, b, eps, simpson(a, b));
}
}

其他的N-C公式