读书笔记: 博弈论导论 - 06 - 完整信息的静态博弈 混合的策略

读书笔记: 博弈论导论 - 06 - 完整信息的静态博弈 混合的策略

混合的策略

本文是Game Theory An Introduction (by Steven Tadelis) 的学习笔记。

策略，信念和期望收益

混合策略

玩家i的有限纯策略集合\(S_i = {s_{i1}, s_{i2}, \cdots, s_{im}}\)。

将\(\Delta S_i\)定义为\(S_i\)的单纯形，是在\(S_i\)上所有概率分布的集合。

玩家i的一个混合策略(mixed strategy)是\(\sigma_i \in \Delta S_i\)，

\[
\sigma_i = (\sigma_i(s_{i1}), \sigma_i(s_{i2}), \cdots, \sigma_i(s_{im})) \\
where \\
\sigma_i(s_{i}) \text{ : the probability that player i plays s_{i}}
\]

两个明显的条件:

\[
\sigma_i(s_{i}) \geq 0, \forall s_i \in S_i \\
\sum_{s_i \in S_i} \sigma_i(s_{i}) = 1
\]

\(\Delta S_i\)的例子：(rock-paper-scissor)

\(\Delta S_i\) = {(\sigma_i(R), \sigma_i(P), \sigma_i(S)) : \sigma_i(R), \sigma_i(P), \sigma_i(S) \geq 0, \sigma_i(R) + \sigma_i(P) + \sigma_i(S) = 1}$

表示所有\((\sigma_i(R), \sigma_i(P), \sigma_i(S))\)对，使得每个值都大于等于0，并且每个值的和为1。

\(\sigma(\dot)\)支持策略\(s_i\)(\(s_i\) is in the support of \(\sigma(\dot)\))

给定一个玩家i的混合策略\(\sigma(\dot)\)，如果\(\sigma(s_i) > 0\)，则称\(\sigma(\dot)\)支持纯策略\(s_i\)。

连续策略集的混合策略

玩家i的纯策略集合\(S_i\)是一个值区间，则玩家i的一个混合策略是累积分布函数\(F_i : S_i \to [0, 1], \ where \ F_i(x) = Pr{s_i < x>}\)。

如果\(F_i(\dot)\)在密度\(f_i(\dot)\)上可微分，并且\(f_i(\dot) > 0\)，则称\(F_i(\dot)\)支持纯策略\(s_i\)。

信念(belief)

信念\(\pi_i \in \Delta S_{-i}\)代表玩家i认为对手采用\(s_{-i} \in S_{-i}\)的概率。

期望收益(Expected Payoffs)

玩家i选择策略\(s_i \in S_i\)，并且对手选择混合策略\(\sigma_{-i} \ \Delta_{-i}\)，的期望收益:

\[
v_i(s_i, \sigma_{-i}) = \sum_{s_{-i} \in S_{-i}} \sigma_{-i}(s_{-i}) v_i(s_i, s_{-i})
\]

玩家i选择混合策略\(\sigma_i \in \Delta S_i\)，并且对手选择混合策略\(\sigma_{-i} \ \Delta_{-i}\)，的期望收益:

\[
v_i(\sigma_i, \sigma_{-i}) = \sum_{s_{i} \in S_{i}} \sigma_{i}(s_{i}) v_i(s_i, s_{-i}) = \sum_{s_i \in S_i} ( \sum_{s_{-i} \in S_{-i}} \sigma_{i}(s_{i}) \sigma_{-i}(s_{i-}) v_i(s_i, s_{-i}) )
\]

混合策略的纳什均衡

混合策略组合\(\sigma^* = (\sigma_1^*, \sigma_2^*, \cdots, \sigma_n^*)\)是一个纳什策略，如果对于每个玩家\(\sigma_i^*\)都是最佳响应。

\[
v_i(\sigma_i^*, \sigma_{-i}^*) \geq v_i(\sigma_i, \sigma_{-i}^*), \ \forall \sigma_i \in \Delta S_i
\]

推论 6.1

Rock-Paper-Scissor

断言 6.1:


断言 6.2:

严格劣势策略的迭代消除和可合理化(IESDS and Rationalizability)

严格劣势

\(s'_i \in S_i\)严格劣势于\(\sigma_i \in \Delta S_i\)，如果满足条件：

\[
v_i(\sigma_i, s_{-i}) > v_i(s'_i, s_{-i}), \ \forall s_{-i} \in S_{-i} \\
\]

不可能是一个最佳响应

对于玩家i的混合策略\(\sigma_i \in \Delta S_i\)，这个混合策略作为最佳响应的对手混合策略\(\sigma_i \in BR_i(\sigma_{-1})\)，如果对手的任何混合策略\(\sigma_{-1} \in \Delta S_{-i}\)都不在玩家i的信念中，则\(\sigma_i \in \Delta S_i\)不可能是一个最佳响应。

断言


推论 6.2

纳什存在定理

纳什存在定理(Nash's existence Theorem)


布劳威尔不动点定理(Brouwer's Fixed-Point Theorem)



最佳响应对应(collection of best response correspondence)

最佳响应对应集合\(BR \equiv BR_1 \times BR_2 \times \cdots \times BR_n\)，映射$\Delta S \equiv \Delta S_1 \times \Delta S_2 \times \cdots \times \Delta S_n $ 到自身。

也就是说：\(BR : \Delta S \rightrightarrows \Delta S\), \(BR(\sigma) \subset \Delta S, \ for \ \sigma \in \Delta S\)

角谷不动点定理(Kakutani Fixed-Point Theorem)



凸的(convex)

集合\(X \subseteq \mathbb{R}^n\)是凸的，如果集合X中任何两点的连线上的点都在集合X中。

闭合的(closed)

集合\(X \subseteq \mathbb{R}^n\)是闭合的，如果集合X边缘点在集合X中。(0, 1]是非闭合的，[0, 1]是闭合的。

紧凑的(compact)

集合\(X \subseteq \mathbb{R}^n\)是紧凑的，如果集合X是闭合并且有界。[0, 1]是紧凑的，\([0, \infty]\)是非紧凑的。

闭合图(closed graph)

图\(C: X \rightrightarrows X\)是闭合图, 如果C是闭合的。

参照

Game Theory An Introduction (by Steven Tadelis)

读书笔记: 博弈论导论 - 01 - 单人决策问题

读书笔记: 博弈论导论 - 02 - 引入不确定性和时间

读书笔记: 博弈论导论 - 03 - 完整信息的静态博弈 预备知识

读书笔记: 博弈论导论 - 04 - 完整信息的静态博弈 理性和公共知识

读书笔记: 博弈论导论 - 05 - 完整信息的静态博弈 纳什均衡

读书笔记: 博弈论导论 - 06 - 完整信息的静态博弈 混合的策略