一文读懂背包问题

转自：刘毅 https://www.61mon.com/index.php/archives/188/ 问题展开

有 N 件物品和一个容量为 V 的背包。第 i 件物品的体积是 Ci，其价值是 Wi。求解，在不超过背包容量情况下，将哪些物品装入背包可使价值总和最大。

基本思路

这是最基础的背包问题，特点是：每种物品仅有一件。

状态 F[i,v] 表示前 i 件物品中选择若干件放在容量为 v 的背包中，可以取得的最大价值。

转移方程：



对于第 i 件物品，有放与不放两种选择。若选择不放，F[i,v]=F[i−1,v]；若选择放，v−Ci 确保有足够的空间，随之 F[i,v]=F[i−1,v−Ci]+Wi。

代码展开

/** * * author 刘毅（Limer） * date   2017-03-17 * mode   C++ */#include <iostream>#include <algorithm>using namespace std;int main(){    const int N = 6;                     // 物品个数    const int V = 10;                    // 背包体积     // 第 i 个物品的体积（下标从 1 开始）    int C[N + 1] = { -1,5,6,5,1,19,7 };      // 第 i 个物品的价值    int W[N + 1] = { -1,2,3,1,4,6,5 };        // 状态    int F[N + 1][V + 1] = { 0 };            // 对于第 i 个物品    for (int i = 1; i <= N; i++)         for (int v = 0; v <= V; v++)        {            F[i][v] = F[i - 1][v];  //第 i 个不放            // 如果比它大，再放第 i 个            if (v - C[i] >= 0 && F[i][v] < F[i - 1][v - C[i]] + W[i])                                    F[i][v] = F[i - 1][v - C[i]] + W[i];        }    cout<< F
[V] << endl;      return 0;
}
以上方法的时间和空间复杂度均为 O(VN)，其中时间复杂度应该已经不能再优化了，但空间复杂度却可以优化到 O(V)。

先考虑上面讲的基本思路如何实现，肯定是有一个主循环i ← 1 to N，每次算出来二维数组 F[i,v] 的所有值。

那么，如果只用一个数组 F[v] 能不能保证第 i 次循环结束后 F[v] 中表示的就是我们定义的状态 F[i,v] 呢？

F[i,v] 是由 F[i−1,v] 和 F[i−1,v−Ci] 两个子问题递推而来，能否保证在推 F[i,v] 时（也即在第 i 次主循环中推 F[v] 时）能够取用 F[i−1,v] 和 F[i−1,v−Ci] 的值呢？

事实上，这要求在每次主循环中我们以v ← V to C[i]的递减顺序计算 F[v]，这样才能保证计算 F[v] 时 F[v−Ci] 保存的是状态 F[i−1,v−Ci] 的值。

优化后的代码如下：

/** * * author 刘毅（Limer） * date   2017-03-17 * mode   C++ */#include <iostream>
#include <algorithm>using namespace std;int main(){    const int N = 6;                     // 物品个数    const int V = 10;                    // 背包体积    // 第 i 个物品的体积（下标从 1 开始）    int C[N + 1] = { -1,5,6,5,1,19,7 };      // 第 i 个物品的价值    int W[N + 1] = { -1,2,3,1,4,6,5 };      int F[V + 1] = { 0 };                // 状态    for (int i = 1; i <= N; i++)  // 对于第 i 个物品        for (int v = V; v >= C[i]; v--)            F[v] = max(F[v], F[v - C[i]] + W[i]);    cout << "最大价值是：" << F[V] << endl;      return 0;}
初始化的细节问题

我们看到的求最优解的背包问题题目中，事实上有两种不太相同的问法。有的题目要求 “恰好装满背包” 时的最优解，有的题目则并没有要求必须把背包装满。

这两种问法的实现方法只是在初始化的时候有所不同。

如果是第一种问法，要求恰好装满背包，那么在初始化时除了 F[0] 为 0，其它 F[1]...F[V] 均设为−∞，这样就可以保证最终得到的 F[V] 是一种恰好装满背包的最优解。

如果并没有要求必须把背包装满，而是只希望价格尽量大，初始化时应该将 F[0]...F[V] 全部设为 0。

这是为什么呢？可以这样理解：初始化的 F 数组事实上就是在没有任何物品可以放入背包时的合法状态。

如果要求背包恰好装满，那么此时只有容量为 0 的背包可以在什么也不装且价值为 0 的情况下被 “恰好装满”，其它容量的背包均没有合法的解，属于未定义的状态，应该被赋值为 -∞了。

如果背包并非必须被装满，那么任何容量的背包都有一个合法解 “什么都不装”，这个解的价值为 0，所以初始时状态的值也就全部为 0 了。

参考文献

背包九讲。