一道关于应试导数求参数的讨论：已知$\forall x>0,\mathrm e^{(kx-1)/(x+1)}<x+1$中，求整数$k$的最大值

前言：导数，应试

题.已知∀x>0,e(kx−1)/(x+1)<x+1中，则整数k的最大值为是_.

解1：先作“尝试”，如果直接构造f(x)=x+1−e(kx−1)/(x+1)，求导后f′(x)=(x+1)2−(k+1)e(kx−1)/(x+1)(x+1)2.比原函数还复杂，因此，需改造题目．首选两边取自然对数∀x>0,e(kx−1)/(x+1)<x+1⟺kx−1x+1<ln(x+1),x>0.

令f(x)=ln(x+1)−kx−1x+1,x>0.于是，原问题转化为求f(x)min>0即可．

求导得f′(x)=x−k(x+1)2.

当k⩽0时，f′(x)>0，从而f(x)在(0,+∞)单调递增，所以f(x)min⩾f(0)=1>0.此时整数k 的最大值为0．

当k>0时,令f′(x)=0⇒x=k，得到x,f′(x),f(x)的关系如下表

xf′(x)f(x)(0,k)−↘k0(k,+∞)+↗

于是f(x)min=f(k)=ln(k+1)−k2−1k+1=ln(k+1)−k+1.这样原问题又“变化”为f(k)与0的大小关系，即需求ln(k+1)−k+1>0的解集．

记g(x)=ln(x+1)−x+1,x>0，求导得g′(x)=−xx+1<0,即g(x)在(0,+∞)单调递减，又g(2)=ln3−1>0,g(3)=ln4−2<0.从而存在惟一的k0使得g(k0)=0,即∃k0∈(2,3),g(k0)=ln(k0+1)−k0+1=0.

亦是∀k∈(0,k0),f(x)min=f(k)>f(k0)=0.

综上，k的最大整数值为2．

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解2：在解1中，我得得到了∀x>0,e(kx−1)/(x+1)<x+1⟺kx−1x+1<ln(x+1),x>0.也可以尝试分离参变量．

进一步，有k<(x+1)ln(x+1)+1x,x>0.记F(x)=(x+1)ln(x+1)+1x,x>0.于是原问题等价于求F(x)的最小值，求导得F′(x)=x−1−ln(x+1)x2=−(ln(x+1)−x+1)x2,x>0.

由解1中，知g(x)=ln(x+1)−x+1,x>0在单调递减，且∃x0∈(2,3),g(x0)=ln(x0+1)−x0+1=0⇒ln(x0+1)=x0−1.

令F′(x)=x−1−ln(x+1)x2=0⇒x=x0，从而得到x,F′(x),F(x)的关系如下表

xF′(x)F(x)(0,x0)−↘x00(x0,+∞)+↗

于是F(x)min=F(x0)=(x0+1)ln(x0+1)+1x0=(x0+1)(x0−1)+1x0=x0∈(2,3).所以，k的最大整数值为2．