统计学复习-统计量及抽样分布

根据《统计学》贾俊平（第六版） 整理而成。

第6章 统计量及其抽样分布

6.1 统计量

1. 概念

设X1,X2,...,Xn是从总体 X 中抽取的容量为 n 的一个样本，如果由此样本构造一个函数T(X1,X2,...,Xn)，不依赖于任何未知参数，则称函数T(X1,X2,...,Xn)是一个统计量。通常也称为样本统计量。由一个具体样本计算出来的函数值叫做统计量值。

2. 常用统计量

样本均值 X¯=1n∑ni=1Xi

样本方差 S2=1n−1∑ni=1(Xi−X¯)2

样本变异系数 V=S/X¯

…

3. 次序统计量

4. 充分统计量

6.2 关于分布的几个概念

1. 抽样分布

抽样分布是统计学中的重要内容。在正态总体条件下，主要有χ2分布，t分布，F分布，常称之为统计三大分布。

2. 渐近分布

中心极限定理将揭示样本均值X¯的渐近分布。

6.3 由正态分布导出的几个重要分布

1. χ2分布

定义6.3：设随机变量X1,X2,...,Xn相互独立，且Xi（i=1,2,...,n）服从标准正态分布，则他们的平方和∑ni=1X2i服从自由度为n的χ2分布。

数学期望E(χ2)=n，方差D(χ2)=2n。

χ2分布具有可加性，若χ21∼χ2(n1)，χ22∼χ2(n2)，且独立，则χ21+χ22∼χ2(n1+n2)。

2. t分布

定义6.4：设随机变量X∼N(0,1)，Y∼χ2(n)，且X与Y独立，则t=XYn−−√其分布称之为t分布，记为t(n)，n为自由度。

3. F分布

…

6.4 样本均值的分布与中心极限定理

1.当总体分布为正态分布N(μ,σ2)时，X¯的抽样分布为正态分布，X¯的数学期望为μ，方差为σ2/n，则X¯∼N(μ,σ2n)

2.然而在实际问题中总体分布并不总是正态分布或近似正态分布，此时X¯的分布取决于总体分布的情况。值得庆幸的是，当抽样个数 n 比较大的时候，无论总体是什么分布，样本均值X¯的分布总是近似正态分布，只要总体的方差有限。

3.中心极限定理（central limit theorem）：设从均值为μ、方差为σ2（有限）的任意一个总体中抽取样本量为 n 的样本，当n充分大时，样本均值X¯的抽样分布近似服从均值为μ，方差为σ2/n的正态分布。简单证明如下：E(X¯)=E(1n∑i=1nXi)=1n∑i=1nE(Xi)=μD(X¯)=D(1n∑i=1nXi)=1n2∑i=1nE(Xi)=σ2n

4.中心极限定理要求 n 必须充分大，我们常要求n⩾30。需要指出，大样本、小样本之间并不是以样本量大小来区分的。在样本量固定的条件下进行统计推断或问题分析，不管样本两多大，都称为小样本问题；而在样本量n−>∞的条件下进行的统计推断或问题分析则成为大样本问题。一般统计学中的n⩾30为大样本，n<30为小样本只是一种经验说法。

6.5 样本比例的抽样分布

1.用样本比例p^来估计总体比例π：当n充分大时，p^的分布可用正态分布去逼近。此时，p^服从均值为π，方差为π(1−π)n的正态分布，即p^∼N(π,π(1−π)n)

6.6 两个样本平均值之差的分布

1.X1∼N(μ1,σ21)， X2∼N(μ2,σ22)，二者独立，则二者样本均值之差的期望E(X1¯−X2¯)=E(X1¯)−E(X2¯)=μ1−μ2，样本均值之差的方差D(X1¯−X2¯)=D(X1¯)+D(X2¯)=σ21/n1+σ22/n2，即X1¯−X2¯∼N(μ1−μ2,σ21n1+σ22n2)

6.7 关于样本方差的分布

1. 样本方差的分布

设X1,X2,...,Xn为来自正态分布N(μ,σ2)的样本，则样本方差S2的分布为：(n−1)S2σ2∼χ2(n−1)

2. 两个样本方差比的分布

…

完。