斯坦福大学深度学习公开课cs231n学习笔记（4）正向传播及反向传播

在cs231n反向传播这节课中，主要利用简单的函数讲了梯度的求解，梯度的链式求解法则，前向传播，后向传播等概念知识，其中对于梯度和链式求解方法，上过高数课的相信都比较了解，所以我主要对前向传播和后向传播作下学习笔记：

对于前向传播，为了方便，我继续使用知乎上的三层网络经典例子：



对于上图1中的权重W和偏置b,初始化为下图2所示的值：

前向传播：

下面展开计算前向传播过程，首先是对中间隐层：

计算

的所有输入：

，代入数据得：

;

计算

的输出: 

;

同样的方法得：

；

然后对输出层计算，此时第一步的隐层神经元的输出作为输出层的输入：
  

，代入数据得：


，计算o1的输出：
  

。
同样的方法得到： 

。
到这一步，就完成了前向传播的计算，为了引出反向传播，还需要引入误差这个概念：
在图2中，我们赋予了o1和o2初值分别为：0.01和0.99，此时就存在了误差，误差的定义为：



上面的例子中，把数值带入得到误差为：



同样的： 


总误差为：

反向传播：

下面可以对反向传播展开了，以输出层的权重参数w5为例，如果想知道权重w5对整体误差的影响，需要根据链式法则对整体误差求w5得偏导数：


 
     （1）

下图3更直观地展示了误差的反向传播过程：



对式（1）中的每项进行计算，然后链式相乘，便可以得到总的结果，具体推导过程请参见，这里摘录过程：





为了减少误差，从当前的权重w5减去求得的这个误差梯度（学习率选择0.5），得：



同样的，对隐层权重w1进行类似的计算：


 
    （2）

对链式中的每一项分别进行计算便可以得到式（2）的结果，然后根据结果进行w1的迭代：



上面的例子，比较清楚的解释了前向传播和后向传播的过程，反向传播可以看成是单元之间通过梯度相互通信，让它们的输入沿着梯度方向变化，使得最后的误差最小。下面是cs231n课中提到的其他几个概念：分段反向传播，回传流中的模式。

分段反向传播：

以下面的表达式（3）为例：


（3）

表达式（3）是一个包含输入x和权重w的2维神经元，该神经元使用sigmoid激活函数。计算过程如下：

w = [2,-3,-3] # assume some random weights and data
x = [-1, -2]

# forward pass
dot = w[0]*x[0] + w[1]*x[1] + w[2]
f = 1.0 / (1 + math.exp(-dot)) # sigmoid function

# backward pass through the neuron (backpropagation)
ddot = (1 - f) * f # gradient on dot variable, using the sigmoid gradient derivation
dx = [w[0] * ddot, w[1] * ddot] # backprop into x
dw = [x[0] * ddot, x[1] * ddot, 1.0 * ddot] # backprop into w

程序中创建了一个中间变量dot：权重w和x的点乘结果，这样分段开使得反向传播更加简洁。另外，在反向传播时也可以计算出装着w和x等的梯度的对应的变量（ddot，dx和dw）。

回传流中的模式：

在大多数情况下，反向传播中的梯度可以被直观地解释。神经网络中常用加法、乘法和取最大值三个门单元，下图4为例：



图中的加法门将梯度相等地分给它的输入；取最大值门将梯度设定为较大的输入；乘法门它的局部梯度是输入值，然后根据链式法则乘以输出值的梯度。
后记：好多概念可能理解的还不是很深，不过感谢知乎上的大神，让我对公开课中的好多概念有了更好地理解。

参考：
http://cs231n.github.io/optimization-2/ https://zhuanlan.zhihu.com/p/21407711 https://www.cnblogs.com/charlotte77/p/5629865.html