字典学习与时间稀疏动态磁共振数据重建（一）

来源

本文Dictionary Learning and Time Sparsity for Dynamic MR Data Reconstruction源于2014年的IEEE TRANSACTIONS ON MEDICAL IMAGING，可以从这里下载，本文是这篇文章的翻译、思路整理以及经验总结。

摘要

源自降采样k空间的动态磁共振数据的重建已经在加速这一成像模态的采集过程中表现出巨大的潜能。随着压缩感知（CS）理论的引入，用于降采样数据的解决方案已经出现了。

关键词

动态磁共振成像， 压缩感知， 字典学习，图像重建， 稀疏编码

介绍

压缩感知动态磁共振成像

CS的目标是设计一个采样策略，它允许最小采样数目的离散信号的完美重建。它背后的本质是任何包含冗余的信号都可以以由少数采样点确定的圧缩形式有效的获取。它的缺点是重建是非线性的，因此也导致计算苛刻。医学图像是可以用合适的变换来压缩的，因此也适合CS采集这一范例。

MR数据的采集域是k空间，它等价于傅里叶域。

minx∥Sx∥0s.t.∥MFx∥22≤ϵ,(1)

其中ϵ是一个较小的常数。

lp范数由∥x∥p=(∑i|xi|p)1/p，其中xi是x的第i个标量。p=0时，该范数被视作伪范数，定义为x中非零元素的个数， 因此，∥x∥0={#i:xi≠0}。在很多情况下，为了是问题[1]变成凸的，l0伪范数被l1范数代替，作为促进稀疏性的一种方法。

CSMRI的一个重要要求是在数据采集中的稀疏变换S是不连贯的。这可以保证矩阵MFS−1满足限制等距性质（RIP）[29]。注意到这一性质是NP难问题，但随机部分傅里叶测量被证明能够利用若干变换S提供足够的不连贯性，并且被认为是较好的实用选择[15],[30]。

动态磁共振像的稀疏变换

A 字典学习动态磁共振成像

B 时间梯度稀疏性

问题陈述

形成的问题是同时找到一个解决方案数据集x∈CP，以便使得它的实部R(x)和虚部F(x)可以用同一个实值的字典D表示，字典是用来学习的。

minD,ΓR,ΓRx∑i=1P