二叉树

二叉树
 

叶子节点个数等于度为2的节点个数加1，与度为1的节点个数无关

 

任何树都满足点比边多一的性质==N个节点，有N-1个树叉

 

度==子节点数

 

度数=N

度2=x

度1=y

度0=z

 

N-1 == 2x+y

N == x+y+z

z == x+1

N == 2x+y+1 == x+y+z

带权路径长度=∑层数×叶节点值

 

原则: 先序：根，左树，右树 + 递归过程

中序：左树，根，右树 + 递归过程

后序：左树，右树，根 + 递归过程

 

在二叉树中：l→child==NULL确实节点无左孩子的充要条件

在线索二叉树中：若节点t没有左子树，则lchild指向节点的前驱，lTag==1是充要条件

 

堆是完全二叉树

 

深度=高度=层数-1

一个n深度的完全二叉树最多有2n-1个结点<====>完全二叉树深度n=[log(2N)]+1

 

BTREE树

 

B树： 二叉搜索树：

特点： 1. 所有非叶子结点至多拥有两个儿子（ Left 和 Right ）；

       2. 所有结点存储一个关键字；

3. 非叶子结点的左指针指向小于其关键字的子树，右指针指向大于其关键字的 子树

4. 搜索性能逼近二分，空间不连续，增删存在B数平衡问题，要有平衡算法

 

B-树： 多路搜索树：(M：节点 K：关键字 P：指针)

特征： 1. 所有非叶子结点至多拥有M>2个儿子；

      * 2. 每个结点存放至少 M/2-1(向上取整）和至多M-1个关键字，即至少2个关 键字

      * 3. 非叶子结点的关键字个数=指向儿子的指针个数-1

4. 所有叶子结点位于同一层

5. 非叶子结点的指针：P[1]--P[M],其中 P[1] 指向关键字小于K[1]的子
树,P[M]指向关键字大于K[M-1]的子树,其它P[i]指向关键字属于(K[i-1], K[i])的子树；

特性：

 1. 关键字集合分布在整颗树中；

         * 2. 任何一个关键字出现且只出现在一个结点中；

             * 3. 搜索有可能在非叶子结点命中（结束）；

      4. 其搜索性能等价于在关键字全集内做一次二分查找；

       5. 自动层次控制；

6. B-树的性能总是等价于二分查找与（M值无关），没有B树平衡的问题

 

B+树： 多路搜索树：

  特征： 1. 其定义基本与B-树相同，除了：

       * 2. 非叶子结点的子树指针与关键字个数相同(B-树关键字比指针少一个)；

        3. 非叶子结点的子树指针 P[i] ， 指向关键字值属于 [K[i], K[i+1]) 的子树（ B- 树是开区间）；

        * 4. 为所有叶子结点增加一个链指针；

        * 5. 所有关键字都在叶子结点出现；

特性：     

        * 1. 所有关键字都出现在叶子结点的链表中（稠密索引），且链表中的关键字恰好是有序的；

        * 2. 不可能在非叶子结点命中；

        * 3. 非叶子结点相当于是叶子结点的索引（稀疏索引），叶子结点相当于是存储（关键字）数据的数据层；

        4. 更适合文件索引系统

分裂： 当一个结点满时，分配一个新的结点，并将原结点中 1/2 的数据复制到新结点，最后在父结点中增加新结点的指针；

B+ 树的分裂只影响原结点和父结点，而不会影响兄弟结点，所以它不需要指向兄弟的指针

B*树：

定义： 是B+树的变体，在B+树的非根和非叶子结点再增加指向兄弟的指针；

内存： B*树定义了非叶子结点关键字个数至少为(2/3)*M，即块的最低使用率为2/3（代替B+树的1/2）；

B* 树分配新结点的概率比B+树要低，空间使用率更高

分裂： 当一个结点满时，如果它的下一个兄弟结点未满，那么将一部分数据移到兄弟结点中，

再在原 结点插入关键字，最后修改父结点中兄弟结点的关键字（因为兄弟结点的关键字范围改变了）；

如果兄弟也满了，则在原结点与兄弟结点之间增加新结点，并各复制 1/3 的数据到新结点，最后在父结点增加新结点的指针；

【小结】

       B树：  二叉树，每个结点只存储一个关键字，等于则命中，小于走左结点，大于走右结点；

       B-树：
多路搜索树，每个结点存储 M/2 到 M 个关键字，非叶子结点存储指向关键字范围的子结点；

       B-树： 所有关键字在整颗树中出现，且只出现一次，非叶子结点可以命中；

       B+树：
在B-树基础上，为叶子结点增加链表指针，所有关键字都在叶子结点中出现，非叶子结点作为叶子结点的索引；

       B+树：总是到叶子结点才命中；叶子节点为数据层；

       B*树：
在B+树基础上，为非叶子结点也增加链表指针，将结点的最低利用率从1/2提高到2/3；<
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