旋转变换矩阵求逆

旋转变换矩阵求逆

背景

坐标系之间相互转换涉及到变换矩阵的求逆，求逆是一个野蛮的过程，世界坐标系到观察

坐标系之间的坐标转换，实际上就是坐标系的平移加旋转，而旋转与平移变换都要以简单

得到其逆变换，从而绕过了对矩阵求逆的过程。下面求旋转变换的逆变换。

绕各坐标轴旋转的矩阵的逆等于其的转置

以绕z旋转为例

x′=ρcos(α+θ)=ρ(cosα⋅cosθ−sinα⋅sinθ)=x⋅cosθ−y⋅sinθ

y′=ρsin(α+θ)=ρ(cosα⋅sinθ+sinα⋅cosθ)=x⋅sinθ+y⋅cosθ

z′=z

⎡⎣⎢x′y′z′⎤⎦⎥=⎡⎣⎢cosθsinθ0−sinθcosθ0001⎤⎦⎥⎡⎣⎢xyz⎤⎦⎥=Rz(θ)⎡⎣⎢xyz⎤⎦⎥

相应的还原矩阵：

Rz(−θ)=⎡⎣⎢cos(−θ)sin(−θ)0−sin(−θ)cos(−θ)0001⎤⎦⎥=⎡⎣⎢cosθ−sinθ0sinθcosθ0001⎤⎦⎥=Rz(θ)T

类似地，如果绕x, y轴旋转，有类似变换矩阵：

⎡⎣⎢x′y′z′⎤⎦⎥=⎡⎣⎢1000cosθsinθ0−sinθcosθ⎤⎦⎥⎡⎣⎢xyz⎤⎦⎥

Rx(−θ)=Rx(θ)T

⎡⎣⎢x′y′z′⎤⎦⎥=⎡⎣⎢cosθ0sinθ010−sinθ0cosθ⎤⎦⎥⎡⎣⎢xyz⎤⎦⎥

Ry(−θ)=Ry(θ)T

要还原某个旋转：

R(θ)=Rx(θ)⋅Ry(θ)⋅Rz(θ)

应该反先后顺序，反角度旋转：

R(−θ)=Rz(−θ)⋅Ry(−θ)⋅Rx(−θ)

使用转置替换之后：

R(−θ)=Rz(θ)T⋅Ry(θ)T⋅Rx(θ)T

=(Ry(θ)⋅Rz(θ))T⋅Rx(θ)T

=(Rx(θ)⋅Ry(θ)⋅Rz(θ))T

=R(θ)T

R(−θ)=R(θ)T