算法分析与设计——递归算法（一）

1. 递归含义与特征

递归含义：一种自身调用自身或间接调用自身的算法.核心将大规模问题转化为小规模问题，小规模问题是大规模问题的解。
递归问题特征：1.问题P涉及数据规模P(size)
2.问题规模发生变化后，解决问题的方法完全相同，并且原问题（通常是大规模问题）的解释由小规模问题的解构成
3.小规模问题是可以求解的（在有限步内可以停机） 解决递归问题的思想核心是归纳法，归纳法思想核心：
1.基础步：a1是问题P（1）的解
2.归纳步：归纳出某种通用的式子可以满足任意值 得出通式  即an=P(n)的解

2. 例题

1.基于递归算法的插入排序
对n个元素组成的数组A进行排序
输入：数组A[]，数组中的元素个数n
输出：按非递减顺序排序的数组A【】
思路：
插入排序是在已知有序的数组中插入一个元素通过组内比较大小找到一个合适的位置，将找到的位置之后的元素整体后移再插入元素，使之成为新的有序数组，然后依次扩大有序的数组，进行相同的操作，直到数组取完。
找出特征：1.首先找出数据规模：SIZE=n;
2.找出对规模改变后的相同的解决方法：组内比较找到位置，位置之后的元素整体后移
3.小规模问题有解：n=1 有序
归纳:
基本步：
当n=1时 数组只有一个A[0]，不需要排序比较。
归纳步：
通过组内比较大小找到一个合适的位置，将找到的位置之后的元素整体后移再插入元素。
代码实现：
void insert_sort_rec(Type A[],int n){
Type a;
n=n-1;
if(n>0)//小规模问题有解
{
insert_sort_rec(A
,n);//调用自身 将大规模交给小规模求解
a=A
;
k=n-1;
while((k>=0)&&(A[k]>a)){//组内比较 找到位置 整体后移
a[k+1]=a[k];
k=k-1;
}
A[k+1]=a;//此时的A[k]<a 即k+1位置是给a的 插入新元素到合适的位置
}
}
算法分析：
此算法的最坏情况时间复杂度:
f(n)=f(n-1)+n-1=f(n-2)+(n-2)+(n-1)=f(0)+（k=1到n-1的k的累加）=n*(n-1)/2
即时间复杂度O(n*n);
2.多项式求值的递归算法
设有如下的n阶多项式：Pn(x)=an*X^n+an-1*X^n-1+...+a1*x+a0
输入：存放于数组的多项式系数A【】及x，多项式的阶数n
输出：阶数为n的多项式的值
思想：将上式改为秦九韶算法
Pn=((...((((an)*x+an-1)*x+an-2)*x+an-3)*x+...)*x+a1)*x+a0
进行归纳：
基础步：n=0,P0=a0;
归纳步：Pk=x*Pk-1+An-k
代码实现：
float qinjiushao_alm(float x,float A[],int n){
float p;
if(n==0){
p=A[0];
}else{
p=qinjiushao_alm(x,A,n-1)*x+A
;
}return p;
}
算法分析：
f(0)=0
f(n)=f(n-1)+1
f(n)=O(n);