二叉树---（1）图文解析

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    看了几十篇关于二叉树的文章，发现这个文章是最全面和通俗易懂的，而且此作者对很多数据结构和算法都很了解，写了不少好文章。这里记录一下，由于原文有C++的实现，但是我现在不搞C++，所以删除了部分。本篇介绍了树，二叉树，二叉查找树等相关的概念。

概要

       本章先对二叉树的相关理论知识进行介绍，然后给出C语言的详细实现。关于二叉树的学习，需要说明的是：它并不难，不仅不难，而且它非常简单。初次接触树的时候，我也觉得它似乎很难；而之所产生这种感觉主要是由于二叉树有一大堆陌生的概念、性质等内容。而当我真正的实现了二叉树再回过头来看它的相关概念和性质的时候，觉得原来它是如此的简单！因此，建议在学习二叉树的时候：先对二叉树基本的概念、性质有个基本了解，遇到难懂的知识点，可以画图来帮助理解；在有个基本的概念之后，再亲自动手实现二叉查找树(这一点至关重要!)；最后再回过头来总结一下二叉树的理论知识时，你会发现——它的确很简单！在代码实践中，我以"二叉查找树，而不是单纯的二叉树"为例子进行说明，单纯的二叉树非常简单，实际使用很少。况且掌握了二叉查找树，二叉树也就自然掌握了。

      请务必深刻理解、实践并掌握"二叉查找树"！它是后面学习AVL树、伸展树、红黑树等相关树结构的基石！

 

树的介绍

1. 树的定义

树是一种数据结构，它是由n（n>=1）个有限节点组成一个具有层次关系的集合。





把它叫做“树”是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。它具有以下的特点：
(01) 每个节点有零个或多个子节点；
(02) 没有父节点的节点称为根节点；
(03) 每一个非根节点有且只有一个父节点；
(04) 除了根节点外，每个子节点可以分为多个不相交的子树。

 

2. 树的基本术语

若一个结点有子树，那么该结点称为子树根的"双亲"，子树的根是该结点的"孩子"。有相同双亲的结点互为"兄弟"。一个结点的所有子树上的任何结点都是该结点的后裔。从根结点到某个结点的路径上的所有结点都是该结点的祖先。

结点的度：结点拥有的子树的数目。
叶子：度为零的结点。
分支结点：度不为零的结点。
树的度：树中结点的最大的度。

层次：根结点的层次为1，其余结点的层次等于该结点的双亲结点的层次加1。
树的高度：树中结点的最大层次。
无序树：如果树中结点的各子树之间的次序是不重要的，可以交换位置。
有序树：如果树中结点的各子树之间的次序是重要的, 不可以交换位置。
森林：0个或多个不相交的树组成。对森林加上一个根，森林即成为树；删去根，树即成为森林。

 

二叉树的介绍

1. 二叉树的定义

二叉树是每个节点最多有两个子树的树结构。它有五种基本形态：二叉树可以是空集；根可以有空的左子树或右子树；或者左、右子树皆为空。





 

2. 二叉树的性质

二叉树有以下几个性质：TODO(上标和下标)
性质1：二叉树第i层上的结点数目最多为 2{i-1} (i≥1)。
性质2：深度为k的二叉树至多有2{k}-1个结点(k≥1)。
性质3：包含n个结点的二叉树的高度至少为log2 (n+1)。
性质4：在任意一棵二叉树中，若终端结点的个数为n0，度为2的结点数为n2，则n0=n2+1。

 

2.1 性质1：二叉树第i层上的结点数目最多为 2{i-1} (i≥1)

证明：下面用"数学归纳法"进行证明。
        (01) 当i=1时，第i层的节点数目为2{i-1}=2{0}=1。因为第1层上只有一个根结点，所以命题成立。
        (02) 假设当i>1，第i层的节点数目为2{i-1}。这个是根据(01)推断出来的！
               下面根据这个假设，推断出"第(i+1)层的节点数目为2{i}"即可。
                由于二叉树的每个结点至多有两个孩子，故"第(i+1)层上的结点数目" 最多是 "第i层的结点数目的2倍"。即，第(i+1)层上的结点数目最大值=2×2{i-1}=2{i}。
                故假设成立，原命题得证！

 

2.2 性质2：深度为k的二叉树至多有2{k}-1个结点(k≥1)

证明：在具有相同深度的二叉树中，当每一层都含有最大结点数时，其树中结点数最多。利用"性质1"可知，深度为k的二叉树的结点数至多为：
           20+21+…+2k-1=2k-1
           故原命题得证！

 

2.3 性质3：包含n个结点的二叉树的高度至少为log2 (n+1)

证明：根据"性质2"可知，高度为h的二叉树最多有2{h}–1个结点。反之，对于包含n个节点的二叉树的高度至少为log2(n+1)。

 

2.4 性质4：在任意一棵二叉树中，若终端结点的个数为n0，度为2的结点数为n2，则n0=n2+1

证明：因为二叉树中所有结点的度数均不大于2，所以结点总数(记为n)="0度结点数(n0)" + "1度结点数(n1)" + "2度结点数(n2)"。由此，得到等式一。
         (等式一) n=n0+n1+n2
　     另一方面，0度结点没有孩子，1度结点有一个孩子，2度结点有两个孩子，故二叉树中孩子结点总数是：n1+2n2。此外，只有根不是任何结点的孩子。故二叉树中的结点总数又可表示为等式二。
         (等式二) n=n1+2n2+1
        由(等式一)和(等式二)计算得到：n0=n2+1。原命题得证！

 

3. 满二叉树，完全二叉树和二叉查找树

3.1 满二叉树

定义：高度为h，并且由2{h} –1个结点的二叉树，被称为满二叉树。





 

3.2 完全二叉树

定义：一棵二叉树中，只有最下面两层结点的度可以小于2，并且最下一层的叶结点集中在靠左的若干位置上。这样的二叉树称为完全二叉树。
特点：叶子结点只能出现在最下层和次下层，且最下层的叶子结点集中在树的左部。显然，一棵满二叉树必定是一棵完全二叉树，而完全二叉树未必是满二叉树。





 

3.3 二叉查找树

定义：二叉查找树(Binary Search Tree)，又被称为二叉搜索树。设x为二叉查找树中的一个结点，x节点包含关键字key，节点x的key值记为key[x]。如果y是x的左子树中的一个结点，则key[y] <= key[x]；如果y是x的右子树的一个结点，则key[y] >= key[x]。





在二叉查找树中：
(01) 若任意节点的左子树不空，则左子树上所有结点的值均小于它的根结点的值；
(02) 任意节点的右子树不空，则右子树上所有结点的值均大于它的根结点的值；
(03) 任意节点的左、右子树也分别为二叉查找树。
(04) 没有键值相等的节点（no duplicate nodes）。