浅谈傅里叶级数到傅里叶变换

1、人物背景

约瑟夫·傅里叶男爵（法语：Joseph Fourier，1768年3月21日－1830年5月16日），法国数学家、物理学家，提出傅里叶级数，并将其应用于热传导理论与振动理论，傅里叶变换也以他命名。他被归功为温室效应的发现者。

1822年傅里叶提出了他在热流上的作品:《热的解析理论》(Théorie analytique de la chaleur)。他的推理的基础是牛顿冷却定律，即两相邻分子的热流和它们之间非常小的温度差成正比。56年后，于1878年，这本书被Freeman翻译与校正成英文版本。让·加斯东·达布又将这本书加以编辑校对，于1888年重新以法文出版。

这本著作有三个重要贡献，一个是纯粹的数学，另两个实质上是物理。在数学中，傅里叶声明，一个变数的任意函数，不论是否连续或不连续，都可展开为正弦函数的级数，而这正弦函数的参数为变数的倍数。虽然这个结果是不正确的，傅里叶正确地察觉，有些不连续函数是无穷级数的总和。这察觉是一个重大数学突破。约瑟夫·拉格朗日曾给予了这个（错误的）定理一些特别的例子，并暗示这是一般的方法，但他没有继续跟踪这题目。约翰·狄利克雷最先给出，在有限制条件下，对于这结果满意的示范。—-以上摘自《维基百科》

2、先说欧拉公式

欧拉公式：eiθ=cosθ+isinθ

欧拉公式（英语：Euler’s formula，又称尤拉公式）是在复分析领域的公式，将三角函数与复数指数函数相关联，因其提出者莱昂哈德·欧拉而得名。尤拉公式提出，对任意实数x，都存在 eiθ=cosθ+isinθ其中e是自然对数的底数，i是虚数单位，而cosθ和sinθ则是余弦、正弦对应的三角函数，参数θ则以弧度为单位。

欧拉公式的推导如下：

利用泰勒公式将如下式子在x0=0出展开(方法不唯一)：

ex=1+x+12!x2+13!x3+…

sinx=x−13!x3+15!x5+…

cosx=1−12!x3+14!x4+…

将x=iθ代入ex可得：

=1+iθ−θ22!−iθ33!+θ44!+iθ55!−θ66!−iθ77!+θ88!+…

=(1−θ22!+θ44!−θ66!+θ88!−…)+i(θ−θ33!+θ55!−θ77!+…)

=conθ+isinθ

由欧拉公式可得：

sinθ=eiθ−e−iθ2i

cosθ=eiθ+e−iθ2

当θ=π的时候，代入欧拉公式得：

eiπ=conπ+isinπ=−1 ⇒ eiπ+1=0

上式即被称为“欧拉恒等式”，也被誉为“上帝公式”。

3、傅里叶级数

傅里叶变换公式如下所示：

f(w)=∫∞−∞F(t)e−iwtdt

f(t)=12π∫∞−∞F(w)eiwtdw

上式只是傅里叶变换公式诸多形式中的一种，在通信领域中，表示将时域信号转换为频域信号或者将频域信号转换为时域信号。

傅里叶原理表明：

任何连续测量的时序或信号，都可以表示为不同频率的正弦信号的无限叠加。而根据该原理创立的傅里叶变换算法利用直接测量到的原始信号，以累加方式来计算该信号中不同正弦波信号的频率、振幅和相位。

傅里叶变换是一种线性的积分变换，哪种变换呢？就是一种从时间到频率的变换或者是相互转化。

一般可称函数f(t)为原函数，而称函数F(w)为傅里叶变换的象函数，原函数和象函数构成一个傅里叶变换对。

傅里叶变换通常还有其他形式的写法，仅仅是通过参数的简单代换得到，有兴趣的可以自己推导一下，比较简单。

为了得到以上的傅里叶变换公式，我们还需要一些额外的知识补充：

3.1 级数

什么是级数呢？级数的定义：在数学中，一个有穷或者无穷的序列u0,u1,u2,u3,⋯的元素的形式和S称为级数。序列u0,u1,u2,u3,⋯中的项称作级数的通项。级数的通项可以是实数、矩阵或向量等常量，也可以是关于其他变量的函数，不一定是一个数。如果级数的通项是常量，则称之为常数项级数，如果级数的通项是函数，则称之为函数项级数。常见的简单有穷数列的级数包括等差数列和等比数列的级数。

3.2三角级数

定义：由三角函数组成的函数项级数，即所谓的三角级数。

而我们现在要考虑的是，如何把给定的函数展开成三角级数。我们知道正弦函数是一种常见而简单的周期函数。例如描述简谐震动的函数：

y=Asin(wt+φ)

就是以2πw为周期的正弦函数。其中y表示动点的位置，t表示时间，A为振幅，w为频率,φ为初相。而我们知道周期函数反应了客观世界中的周期运动，那么我们联系到前面介绍的泰勒展开式，用简单的多项式去近似替代函数，所以我们也想将给定的函数(先讨论周期函数)展开成简单的周期函数例如三角函数组成的级数。

具体地说，将周期为T=2πw的周期函数用一系列以T为周期的正弦函数Ansin(nwt+φn)组成的级数来表示，记作：

f(t)=A0+∑∞n=1Ansin(nw+φn)，

其中A0,An.φn(n=1,2,3,4,⋯)都为常数。

而将周期函数按照上述方式展开，它的物理意义是很明确的，这就是把一个比较复杂的周期运动看成是许多不同频率的简谐振动的叠加。为了以后讨论方便，我们将正弦函数Ansin(nwt+φn)展开为：

An[sin(nwt)cosφn+cos(nwt)sinφn]=ancosnwt+bnsinnwt

其中

a02=A0

an=Ansinφn

bn=Ancosφn

w=πl(即T=2l).

则级数

f(t)=A0+∑∞n=1Ansin(nwt+φn)

将改写为

a02+∑∞n=1(ancosnπtl+bnsinnπtl)

而形如上式的级数叫”三角级数“，其中a0,an,bn(n=1,2,3,⋯)都是常数。如果令πtl=x,则上式改写为：

a02+∑∞n=1(ancosnx+bnsinnx)

这就是把以2l为周期的三角函数转换为以2π为周期的三角函数。

3.3 三角函数的正交性

下面 我们讨论以2π为周期的三角函数，首先介绍一下什么叫做三角函数系。所谓三角函数系：

1,cosx,sinx,cos2x,sin2x,⋯,connx,sinnx,⋯

在区间[−π,π]上正交，就是指在三角函数系中任何两个函数的乘积区间[−π，π]上积分等于0.即：

∫π−πcosnxdx=0(n取1,2,3,⋯)

∫π−πsinnxdx=0(n取1,2,3,⋯)

⋯

利用三角函数中的积化合差公式，可以推导出上式的结果。一些常用结果如下：

∫π−π12dx=2π

∫π−π(sinnx)2dx=π

∫π−π(cosnx)2dx=π,其中n取1，2，3，⋯

3.4 函数展开成傅里叶级数

设f(x)是周期为2π的周期函数，且能展开成三角级数：

f(x)=a02+∑∞k=1(akcoskx+bksinkx)[1]

我们自然要问，系数a0,a1,b1,⋯与函数f(x)之间存在着怎样的关系呢？换句话说，我们如何利用f(x)把a0,a1,b1，为此，我们进一步假设上式右端的级数可以逐项积分。

先求a0，对上式在区间[−π，π]内积分，由于假设上式右端级数可逐项积分，因此有：

∫π−πf(x)dx=∫π−πa02dx+∑∞n=1[an∫π−πcosnxdx+bn∫π−πsinnxdx]

而根据三级函数系的正交性，等式右端除第一项外，其余各项均为0.所以：

∫π−πf(x)dx=a022π=a0⋅π

于是得：

a0=1π∫π−πf(x)dx

其次求an,用cosnx乘以[1]式两端，再从−π到π积分，我们将得到：

∫π−πf(x)⋅cosnxdx=a02∫π−πcosnxdx+∑∞n=1[an∫π−πconkx⋅cosnxdx+bn∫π−πsinkx⋅cosnxdx]

根据三角函数系的正交性，等式右端除了k=n的一项外，其余各项均为0，所以

an=1π∫π−πf(x)cosnxdx,其中(n=1,2,3,⋯)

类似的：用sinnx乘以[1]式两端，再从−π到π积分，可得：

bn=1π∫π−πf(x)sinnxdx(n=1,2,3,⋯)

由于当n=0的时候，an的表达式正好给出a0,因此，已得结果可以合并成：

an=1π∫π−πf(x)cosnxdx,其中(n=0,1,2,3,⋯)

bn=1π∫π−πf(x)sinnxdx,其中(n=1,2,3,⋯)

如果上式积分都存在，这时由它们定出的系数a0,a1,b1,⋯叫做函数f(x)的傅里叶(Fourier)系数，将这些系数代入[1]式右端，所得的三角级数叫做函数f(x)的傅里叶级数。

3.5 正弦级数和余弦级数

我们在上面已经得出了周期为2π的函数f(x)的傅里叶系数计算公式，由于基函数在对称区间上的积分为0，偶函数在对称区间上的积分等于半区间上积分的两倍，因此，当f(x)为奇函数时，f(x)cosnx是奇函数，f(x)sinnx是偶函数，故：

an=0,其中(n=0,1,2,3,⋯)

bn=2π∫π−πf(x)sinnxdx,其中(n=1,2,3,⋯)

即知奇函数的傅里叶级数是只含有正弦项的正弦级数,∑∞n=1bnsinnx。

当f(x)为偶函数时,

an=2π∫π−πf(x)cosnxdx,其中(n=0,1,2,3,⋯)

bn=0,其中(n=1,2,3,⋯)

即知偶函数的傅里叶级数是只含有常数项和余弦项的余弦级数，a02+∑∞n=1ancosnx。

3.6周期为2L的傅里叶级数

我们将前面所讲的傅里叶级数从周期为2π推广到周期为2l.

an=1l∫l−lf(x)cosnxdx,其中(n=0,1,2,3,⋯)

bn=1l∫l−lf(x)sinnxdx,其中(n=1,2,3,⋯)

同样，当函数f(x)为奇函数或者偶函数时，进行相应的改写。

3.7 傅里叶级数的复数形式

设周期为2l的周期函数f(x)的傅里叶级数为：

a02+∑∞n=1(ancosnπxl+bnsinnπxl)

其中系数：

an=1l∫l−lf(x)cosnπxldx,其中(n=0,1,2,3,⋯)

bn=1l∫l−lf(x)sinnπxldx,其中(n=1,2,3,⋯)

利用欧拉公式：

sinx=eix−e−ix2i

cosx=eix+e−ix2

代入上式得，

a02+∑∞n=1[an2(einπxl+e−inπxl)−ibn2(einπxl−e−inπxl)]

=a02+∑∞n=1[an−ibn2einπxl+an+ibn2e−inπxl]

我们记：

a02=C0,

an−ibn2=Cn,

an+ibn2=C−n，其中(n=1,2,3,⋯)

则上式化简为

C0+∑∞n=1(Cneinπxl+C−ne−inπxl)

=(Cneinπxl)n=0+∑∞n=1(Cneinπxl+C−ne−inπxl)

即得傅里叶级数的复数形式为：

∑∞n=−∞Cneinπxl

为了得出Cn的表达式，将an,bn代入下式：

a02=C0,

an−ibn2=Cn,

an+ibn2=C−n，其中(n=1,2,3,⋯)

得出：

C0=a02=∫l−lf(x)dx

Cn=an−ibn2=12l∫l−lf(x)e−inπxldx(n=1,2,3,⋯)

C−n=an+ibn2=12l∫l−lf(x)einπxldx(n=1,2,3,⋯)

将上式合并为下式：

Cn=12l∫l−lf(x)einπxldx(n=0,±1,±2,±3,⋯)

这就是傅里叶系数的复数形式。

4、傅里叶变换（Fourier Transform,FT）

说了这么多，终于到了本文的最后一步了，那就是傅里叶变换。傅里叶变换一般是针对非周期函数的，而我们之前所讲的傅里叶级数都是指的是周期函数，为了从傅里叶级数平滑过渡到傅里叶变换，我们可以将给定的非周期函数看作是周期无穷大，即T→∞.

f(t)=a02+∑∞n=1[an−ibn2einw1t+an+ibn2e−inw1t]

令F(nw1)=an−ibn2，则F(−nw1)=an+ibn2(奇偶性)，令F(0)=a02,则得：

f(t)=∑∞n=−∞Fneinw1t

由前面所讲的知识能得到下式（就是前面Cn换了字母而已）：

F(nw1)=1T∫T2−T2f(t)e−iw1ntdt

对上式两边同时乘以T得：

T⋅F(nw1)=∫T2−T2f(t)e−iw1ntdt，其中T=2πw

当T→∞时，w1=2πT→0。令nw1=w，则令上式右端为：F(w)=∫∞−∞f(t)e−iwtdt，得F(w)=2πw1⋅F(nw1)，代入

f(t)=∑∞n=−∞Fneinw1t

得：

f(t)=∑∞n=−∞F(w)2πeiwt⋅w1

w1→0,故w1→Δw，上式可以改写为：

f(t)=12π∫∞−∞F(w)eiwtdw

由此便可以得出傅里叶变换的推导公式，以上，是傅里叶变换最简单的形式，感兴趣的人可以继续推出反变换和一些其他常用的变换。

5、简单总结

个人认为，当你想要熟练使用某个公式或者定理的时候，你必须要知道他是怎么来的，这样才能帮助你更好的理解和进步，花了一天多的时间，把这部分基础的内容整理一下，也算是给入坑傅里叶的同学做一个入门，以上纯粹手打，可能会有挺多问题的，希望大家指出。

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