hdu 1024 Max Sum Plus Plus(DP->k段连续区间的最大和）

Max Sum Plus Plus
Time Limit:1000MS     Memory Limit:32768KB     64bit IO Format:%I64d & %I64u
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Description

Now I think you have got an AC in Ignatius.L's "Max Sum" problem. To be a brave ACMer, we always challenge ourselves to more difficult problems. Now you are faced with a more difficult problem. 

Given a consecutive number sequence S 1, S 2, S 3, S 4 ... S x, ... S n (1 ≤ x ≤ n ≤ 1,000,000, -32768 ≤ S x ≤ 32767).
We define a function sum(i, j) = S i + ... + S j (1 ≤ i ≤ j ≤ n). 

Now given an integer m (m > 0), your task is to find m pairs of i and j which make sum(i 1, j 1) + sum(i 2, j 2) + sum(i 3, j 3) + ... +
sum(im, j m) maximal (i x ≤ i y ≤ j x or i x ≤ j y ≤ j x is not allowed). 

But I`m lazy, I don't want to write a special-judge module, so you don't have to output m pairs of i and j, just output the maximal summation of sum(i x, j x)(1 ≤ x ≤ m) instead. ^_^ 

Input

Each test case will begin with two integers m and n, followed by n integers S 1, S 2, S 3 ... S n. 

Process to the end of file. 

Output

Output the maximal summation described above in one line. 

Sample Input

1 3 1 2 3
2 6 -1 4 -2 3 -2 3

Sample Output

6
8

Hint

Huge input, scanf and dynamic programming is recommended.

本题的大致意思为给定一个数组，求其分成m个不相交子段和最大值的问题。

设Num为给定数组，n为数组中的元素总数，Status[i][j]表示前i个数在选取第i个数的前提下分成j段的最大值，其中1<=j<=i<=n && j<=m，状态转移方程为：

Status[i][j]=Max(Status[i-1][j]+Num[i]，Max(Status[0][j-1]~Status[i-1][j-1])+Num[i])

乍看一下这个方程挺吓人的，因为题中n的限定范围为1~1,000,000而m得限定范围没有给出，m只要稍微大一点就会爆内存。但仔细分析后就会发现Status[i][j]的求解只和Status[*][j]与Status[*][j-1]有关所以本题只需要两个一维数组即可搞定状态转移。

在进行更进一步的分析还会发现其实Max(Status[0][j-1]~Status[i-1][j-1])根本不需要单独求取。在求取now_Status（保存本次状态的数组）的过程中即可对pre_Status（保存前一次状态的数组）进行同步更新。

 

 

状态dp[i][j]

有前j个数，组成i组的和的最大值。

决策： 第j个数，是在第包含在第i组里面，还是自己独立成组。

方程 dp[i][j]=Max(dp[i][j-1]+a[j] , max( dp[i-1][k] ) + a[j] ) 0<k<j

空间复杂度，m未知，n<=1000000，  继续滚动数组。
时间复杂度 n^3. n<=1000000.  显然会超时，继续优化。
max( dp[i-1][k] ) 就是上一组 0....j-1 的最大值。我们可以在每次计算dp[i][j]的时候记录下前j个
的最大值 用数组保存下来  下次计算的时候可以用，这样时间复杂度为 n^2.

这道题是一段连续区间最大和的升级版，主要思想就是把当前段的最优值记忆下来，最优值为k段最优并上当前值
或k-1段的最优值加上当前值。。。模拟一下一组数据就能体会

#include <iostream>

#include <cstdio>

#include <cstring>

#include <cmath>

#include <algorithm>

#include <map>

using namespace std;

const int N = 1000000+11;

const int inf = -0x3f3f3f3f;

int dp
, dp1
, v
;

int main()

{

    int m, n;

    while(scanf("%d %d", &m, &n)!=EOF)

    {

        memset(dp,0,sizeof(dp));

        memset(dp1,0,sizeof(dp1));

        for(int i=1;i<=n;i++)

            scanf("%d",&v[i]);

        int flag;

        for(int k=1;k<=m;k++)

        {

            flag=inf;

            for(int i=k;i<=n;i++)

            {

                dp1[i]=max(dp1[i-1]+v[i],dp[i-1]+v[i]);

                dp[i-1]=flag;

                flag=max(flag,dp1[i]);

            }

        }

        printf("%d\n",flag);

    }

    return 0;

}