【算法导论】贪心算法之活动选择问题

动态规划总是在追求全局最优的解，但是有时候，这样有点费时。贪心算法，在求解过程中，并不追求全局最优解，而是追求每一步的最优，所以贪心算法也不保证一定能够获得全局最优解，但是贪心算法在很多问题却额可以求得最优解。

一、问题概述

活动选择问题：

假定一个有n个活动(activity)的集合S={a1,a2,....,an}，这些活动使用同一个资源（例如同一个阶梯教室），而这个资源在某个时刻只能供一个活动使用。每个活动ai都有一个开始时间si和一个结束时间fi，其中0<=si<fi<正无穷。如果被选中国，任务ai发生在半开时间区间[si,fi)期间。如果两个活动ai和aj满足[si,fi)和[sj,fj)不重叠，则称它们是兼容的。也就说，若si>=fj或sj>=fi，则ai和aj是兼容的。在活动选择问题中，我们希望选出一个最大兼容活动集。假定活动已按结束时间fi的单调递增顺序排序：

f1<=f2<=f3<=f4<=...<=fn-1<=fn
例如，考虑下面的活动集合：

最优子结构为：

假设：Sij表示在ai结束之后，在aj开始之前的活动的集合。Aij表示Sij的一个最大相互兼容的活动子集。那么只要Sij非空，则Aij至少会包含一个活动，假设为ak。那么可以将Aij分解为：Aij = Aik+ak+Akj。假设Cij为Aij的大小，那么有Cij=cik+ckj+1。

但是我们并不知道具体是k等于多少的时候，可以让ak一定位于Aij中，所以我们采用动态规划的方式，遍历所有可能的k值，来取得。于是有：