K-SVD字典学习及其实现（Python）

算法思想

算法求解思路为交替迭代的进行稀疏编码和字典更新两个步骤. K-SVD在构建字典步骤中，K-SVD不仅仅将原子依次更新，对于原子对应的稀疏矩阵中行向量也依次进行了修正. 不像MOP，K-SVD不需要对矩阵求逆，而是利用SVD数学分析方法得到了一个新的原子和修正的系数向量.

固定系数矩阵X和字典矩阵D，字典的第k个原子为dk，同时dk对应的稀疏矩阵为X中的第k个行向量xkT. 假设当前更新进行到原子dk，样本矩阵和字典逼近的误差为：

∥Y−DX∥2F=∥Y−∑j=1KdjxjT∥2F=∥(Y−∑j≠kdjxjT)−dkxjT∥2F=∥Ek−dkxkT∥2F

在得到当前误差矩阵Ek后，需要调整dk和XkT，使其乘积与Ek的误差尽可能的小.

如果直接对dk和XkT进行更新，可能导致xkT不稀疏. 所以可以先把原有向量xkT中零元素去除，保留非零项，构成向量xkR，然后从误差矩阵Ek中取出相应的列向量，构成矩阵ERk. 对ERk进行SVD（Singular Value Decomposition）分解，有ERk=UΔVT，由U的第一列更新dk，由V的第一列乘以Δ(1,1)所得结果更新xkR.

Python实现

import numpy as np
from sklearn import linear_model
import scipy.misc
from matplotlib import pyplot as plt

class KSVD(object):
def __init__(self, n_components, max_iter=30, tol=1e-6,
n_nonzero_coefs=None):
"""
稀疏模型Y = DX，Y为样本矩阵，使用KSVD动态更新字典矩阵D和稀疏矩阵X
:param n_components: 字典所含原子个数（字典的列数）
:param max_iter: 最大迭代次数
:param tol: 稀疏表示结果的容差
:param n_nonzero_coefs: 稀疏度
"""
self.dictionary = None
self.sparsecode = None
self.max_iter = max_iter
self.tol = tol
self.n_components = n_components
self.n_nonzero_coefs = n_nonzero_coefs

def _initialize(self, y):
"""
初始化字典矩阵
"""
u, s, v = np.linalg.svd(y)
self.dictionary = u[:, :self.n_components]

def _update_dict(self, y, d, x):
"""
使用KSVD更新字典的过程
"""
for i in range(self.n_components):
index = np.nonzero(x[i, :])[0]
if len(index) == 0:
continue

d[:, i] = 0
r = (y - np.dot(d, x))[:, index]
u, s, v = np.linalg.svd(r, full_matrices=False)
d[:, i] = u[:, 0].T
x[i, index] = s[0] * v[0, :]
return d, x

def fit(self, y):
"""
KSVD迭代过程
"""
self._initialize(y)
for i in range(self.max_iter):
x = linear_model.orthogonal_mp(self.dictionary, y, n_nonzero_coefs=self.n_nonzero_coefs)
e = np.linalg.norm(y - np.dot(self.dictionary, x))
if e < self.tol:
break
self._update_dict(y, self.dictionary, x)

self.sparsecode = linear_model.orthogonal_mp(self.dictionary, y, n_nonzero_coefs=self.n_nonzero_coefs)
return self.dictionary, self.sparsecode

if __name__ == '__main__':
im_ascent = scipy.misc.ascent().astype(np.float)
ksvd = KSVD(300)
dictionary, sparsecode = ksvd.fit(im_ascent)
plt.figure()
plt.subplot(1, 2, 1)
plt.imshow(im_ascent)
plt.subplot(1, 2, 2)
plt.imshow(dictionary.dot(sparsecode))
plt.show()

运行结果：