多元复合函数的求导法则

注：复合函数为向量值函数。

链式求导法则

若： m,p,n∈N,m,p,n≥1,

fm×1=⎛⎝⎜⎜f1⋮fm⎞⎠⎟⎟:Rp→Rm,gp×1=⎛⎝⎜⎜g1⋮gp⎞⎠⎟⎟:Rn→Rp,

zm×1=f(yp×1),yp×1=g(xn×1),

dz=f′(y)dy,dydx=(∂yi∂xj)p×n,

则： dzdx=f′(g(x))g′(x)

证明：

∀i∈N,1≤i≤m,

Δzi=∑pk=1∂zi∂ykΔyk+∑pk=1Δyk2−−−−−−−−−√⋅αi(y,Δy)

其中 Δy=0 时 αi(y,Δy)=0, 且 limΔy→0αi(y,Δy)=0

则：∀j∈N,1≤j≤n,

ΔziΔxj=∑pk=1∂zi∂ykΔykΔxj+|Δxj|Δxj⋅∑pk=1(ΔykΔxj)2−−−−−−−−−−√⋅αi(y,Δy)

易知： limΔxj→0Δy=0, 则 limΔxj→0αi(y,Δy)=0

于是： ∂zi∂xj=limΔxj→0ΔziΔxj=∑pk=1∂zi∂yk∂yk∂xj

即 (dzdx)ij=∑pk=1(f′(g(x)))ik(g′(x))kj

一阶全微分的形式不变性

dz=f′(g(x))g′(x)dx=f′(y)dy