关于欧拉函数的一些理解

先丢上定义

phi(x)=x*∏(pi-1)/pi;  //pi为x的所有因子。

/pi 相当于区间长度x分为pi部分，每个小部分有一个与数与x的不互质，所以乘（pi-1）..

性质

1. x为质数 phi(x)=x-1;

2、gcd(a,x)==1   有a^phi(x)=1(mod x);

3.根据1，2性质  可以证明费马小定理  当x为质数&&gcd(a,x)==1有  a^(x-1)=1(mod x);

4.当x为奇数 phi(2*x)=phi(x);

5.欧拉函数为积性函数 若m,n互质，phi(mn)=phi(m)*phi(n);


6、 phi(x)=n  如果n为奇数   说明x=1;



int euler_phi(int n){ //O(logn)
int res=n;
for(int i=2;i*i<=n;i++){
if(res%i==0){
res=res/i*(i-1);
for(;n%i==0;n/=i);
}
}
if(n!=1) res=res/n*(n-1);
return res;
}
void euler_phi2(){ //O(n)打表
for(int i=0;i<MAX_N;i++) euler[i]=i;
for(int i=2;i<MAX_N;i++){
if(euler[i]==i){
for(int j=i;j<MAX_N;j+=i) euler[j]=euler[j]/i*(i-1);
}
}
}