Codevs1074食物链

http://codevs.cn/problem/1074/

加权并查集/扩展域并查集的经典题目

方案一：加权并查集

思路

我们设rank[i]记录记录i到其father的关系（或言距离）,有0,1,2三种表示同类,吃与被吃 ，然后注意在路径压缩时维护此关系，当新得到的两只动物的关系已经被确定是判断此时关系是否矛盾，合并时确定新增关系（u与v）。

一定要注意：食物链为环状结构。

在这里解释两处对合并的关键性处理的代码，也是本题的难点所在：

第一处：

1.若y与v同类: (1) x与u同类,则u与v同类 = 0 (2) x吃u,则v吃u,u被v吃 = 2 (3) x被u吃,则v被u吃,u吃v = 1

2.若y吃v: (1) x与u同类,则y与u同类,u吃v = 1 (2) x吃u,则y吃u,u与v同类 = 0 (3) x被u吃,则y被u吃,v吃u,u被v吃 = 2

3.若y被v吃： (1) x与u同类,则y与u同类,u被v吃 = 2 (2) x吃u,则y吃u,u吃v = 1 (3) x被u吃,则y被u吃,u与v同类 = 0

第二处

1.若y与v同类： (1) x与u同类,则x吃v,u吃v = 1 (2) x吃u,则x吃v,u与v同类 = 0 (3) x被u吃,则y吃u,v吃u,u被v吃 = 2

2.若y吃v： (1) x与u同类,则v吃u,u被v吃 = 2 (2) x吃u,则y与u同类,u吃v = 1 (3) x被u吃,则y吃u,y与v同类 = 0

3.若y被v吃： (1) x与u同类,v吃y,则x与v同类,u与v同类 = 0 (2) x吃u,则y与u同类,u被v吃 = 2 (3) x被u吃,则y吃u,u吃v = 1

在这里我们是分情况讨论证明算法的合理性，还有一种向量法证明具体请见：http://www.studyai.com/article/0d732f3e 但要注意，向量法的解释方法，适用情况比较少，仅适用于不超过三种关系的情况。

代码

//加权并查集
#include<iostream>//注意仅有三种动物
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
using namespace std;
int n,k,p,x,y,ans;
int fa[1000010],rank[1000010];
int find(int x)
{
if(fa[x]==x)
return fa[x];
int tmp=fa[x];
fa[x]=find(fa[x]);
rank[x]=(rank[tmp]+rank[x])%3;//路径压缩,当前与根节点的关系(距离) = 沿路关系相加
return fa[x];                 //当作记录原来到根节点的距离理解好啦~
}
int main()
{
scanf("%d%d",&n,&k);
for(int i=1;i<=n;i++)
fa[i]=i;
for(int i=1;i<=k;i++)
{
scanf("%d %d %d\n",&p,&x,&y);
if(x>n||y>n)
{
ans++;
continue;
}
int u=find(x);
int v=find(y);
if(p==1)//x与y同类
{
if(u==v)
{
if(rank[x]!=rank[y])//同类则关系相同,只维护与其父亲的关系
ans++;
}
else
{
fa[u]=v;
rank[u]=(rank[y]-rank[x]+3)%3;//注意此时的u,v,x,y不一定包含3种动物
}//+3为了调整关系(仅三种)            //第一处
}
if(p==2)//x吃y
{
if(u==v)
{
if(rank[x]!=(rank[y]+1)%3)//需满足条件//若x与fa同类,则y被fa吃
ans++;                                //若x吃fa,则y与fa同类
}                                         //若x被fa吃,则y吃fa
else                                      //-----环状结构！
{
fa[u]=v;
rank[u]=(rank[y]-rank[x]+4)%3;//第二处
}
}
}
printf("%d",ans);
return 0;
}

对于本题的加权并查集的做法，总而言之理解起来还是很有难度的，而且是仁者见仁智者见智，但在进行一定的了解后如果遇到新题，会发现解题方法其实是差不多的。

根据不同的题目推导路径压缩，判断以及合并的操作方法，如有必要就分情况讨论一下，还是可以为算法设计提供很不错的思路的。

方案二：扩展域并查集

注意：对于本题，所谓并查集拆点（将一个点拆成三个）的做法与扩展域并查集其实就是从两个方面解释算法而已，并无实质差别。

思路

开三倍的fa[i]，分别表示i的同类域，i的吃域，i的被吃域。然后根据描述依次加入并查集，结合题设条件判断冲突即可。

代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
using namespace std;
int n,k,p,x,y,ans;
int x_1,y_1,x_2,y_2,x_3,y_3;//include-cmath...不能使用y1
int fa[3000010];
int find(int x)
{
return fa[x]==x?x:fa[x]=find(fa[x]);//随意路径压缩
}
int main()
{
scanf("%d%d",&n,&k);
for(int i=1;i<=3*n+2;i++)
fa[i]=i;
for(int i=1;i<=k;i++)
{
scanf("%d%d%d",&p,&x,&y);
if(x>n||y>n)
{
ans++;
continue;
}
x_1=find(x);//同类域
y_1=find(y);
x_2=find(x+n);//吃域
y_2=find(y+n);
x_3=find(x+n*2);//被吃域
y_3=find(y+n*2);
if(p==1)
{
if(x_1==y_2||x_2==y_1)//y吃x或者x吃y
ans++;
else
{
fa[x_1]=y_1;//x与y同类
fa[x_2]=y_2;//x的吃域即y的吃域
fa[x_3]=y_3;//x的敌人即y的敌人
}
}
if(p==2)
{
if(x_1==y_1||x_1==y_2)//x与y同类或y吃x
ans++;
else
{
fa[y_1]=x_2;//x吃y
fa[y_2]=x_3;//y的食物吃x---长度为3的环状结构
fa[y_3]=x_1;//x的同类吃y
}
}
}
printf("%d",ans);
return 0;
}

本题的扩展域并查集做法还是比较容易理解的。