其他题目---正数数组的最小不可组成和

【题目】

　　给定一个正数数组arr，其中所有的值都是整数，以下是最小不可组成和的概念：

把arr每个子集内的所有元素加起来会出现很多值，其中最小的记为min，最大的记为max。

在区间[min, max]上，如果有数不可以被arr某一个子集相加得到，那么其中最小的那个数就是arr的最小不可组成和。

在区间[min, max]上，如果所有的数都可以被arr的某一个子集相加得到，那么max + 1是arr的最小不可组成和。

【进阶题目】

　　如果已知正数数组arr中肯定有1这个数，是否能更快地得到最小不可组成和？

【基本思路】

　　原问题。

　　解法一。使用暴力递归的方式，收集每一个子集的累加和，记录在一个哈希表中，然后从min开始递增检查，看第一个不在哈希表中的正数是哪一个，时间复杂度是O(2N)。

#python3.5
def unformedSum1(arr):
def process(arr, i, sum, set1):
if i == len(arr):
set1.add(sum)
return
process(arr, i+1, sum, set1)
process(arr, i+1, sum + arr[i], set1)

if arr == None or len(arr) == 0:
return 1
set1 = set()
process(arr, 0, 0, set1)
min1 = sys.maxsize
for i in range(len(arr)):
min1 = min(arr[i], min1)
for i in range(min1+1, sys.maxsize):
if i not in set1:
return i
return 0

　　解法二。使用动态规划。arr中所有数的相加和sum即是该数组的最大累加和，所有arr子集的累加和必然在[0, sum]区间上。生成长度为sum+1的dp数组，dp[i] == True表示i这个累加和可以被arr的子集相加得到，否则不能。如果arr[0…i]这个范围上的数组成的子集可以累加出k，那么arr[0…i+1]这个范围上的数组成的子集中必然可以累加出k + arr[i+1]。时间复杂度O(N*sum)，空间复杂度O(sum)

def unformedSum2(arr):
if arr == None or len(arr) == 0:
return 1
maxSum = 0
minSum = sys.maxsize
for i in range(len(arr)):
minSum = min(arr[i], minSum)
maxSum += arr[i]
dp = [False for i in range(maxSum+1)]
dp[0] = True
for i in range(len(arr)):
for j in range(maxSum,arr[i]-1, -1):
if dp[j-arr[i]]:
dp[j] = True
for i in range(minSum, len(dp)):
if not dp[i]:
return i
return maxSum + 1

　　进阶题目。

　　时间复杂度O(NlogN)，空间复杂度O(1)，具体过程如下：

将arr进行排序，排序后必然有arr[0] == 1。

从左往右计算每个位置i的range。range表示当计算到位置arr[i]时，[1, range]上所有的数都可以被arr[0…i-1]的某一个子集累加出来。初始时range = 0。

如果arr[i] > range+1。说明在arr[0…i]上，range+1这个数一定不能累加出来。此时返回range + 1即可。如果arr[i]≤range+1，说明[1,range+arr[i]]区间上所有的正数都可以被arr[0…i]上的某一个子集累加出来，所以令range += arr[i]，然后继续计算下一个位置。

#python3.5
def unformedSum3(arr):
if arr == None or len(arr) == 0:
return 1
arr.sort()
rang = 0
for i in range(len(arr)):
if arr[i] <= rang+1:
rang += arr[i]
else:
break
return rang + 1