股票交易 【SCOI 2010】HDU 3401 （单调队列优化DP入门）

题目描述：

　最近 Lxhgww 又迷上了投资股票，通过一段时间的观察和学习，他总结出了股票行情的一些规律。

　通过一段时间的观察，Lxhgww 预测到了未来 T 天内某只股票的走势，第 i 天的股票买入价为每股 APi，第 i 天的股票卖出价为每股 BPi数据保证对于每个i，都有APi≥BPi），但是每天不能无限制地交易，于是股票交易所规定第 i 天的一次买入至多只能购买ASi 股，一次卖出至多只能卖出 BSi 股。

　另外，股票交易所还制定了两个规定。为了避免大家疯狂交易，股票交易所规定在两次交易（某一天的买入或者卖出均算是一次交易）之间，至少要间隔 W 天，也就是说如果在第 i 天发生了交易，那么从第 i+1 天到第 i+W 天，均不能发生交易。同时，为了避免垄断，股票交易所还规定在任何时间，一个人的手里的股票数不能超过 MaxP 。

　在第 1 天之前，Lxhgww 手里有一大笔钱（可以认为钱的数目无限），但是没有任何股票，当然，T 天以后，Lxhgww 想要赚到最多的钱，聪明的程序员们，你们能帮助他吗？

输入：

　输入数据第一行包括3个整数，分别是 T，MaxP，W 。

　接下来 T 行，第 i 行代表第 i-1 天的股票走势，每行 4 个整数，分别表示 APi，BPi，ASi，BSi 。

输出：

　输出数据为一行，包括 1 个数字，表示 Lxhgww 能赚到的最多的钱数。

样例输入：

5 2 0

2 1 1 1

2 1 1 1

3 2 1 1

4 3 1 1

5 4 1 1

样例输出：

3

【数据范围】

对于 30% 的数据，0≤W＜T≤50；1≤MaxP≤50 ；

对于 50% 的数据，0≤W＜T≤2000；1≤MaxP≤50 ；

对于 100% 的数据，0≤W＜T≤2000；1≤MaxP≤2000 ；

对于所有的数据，1≤BPi≤APi≤1000；1≤ASi,BSi≤MaxP 。

题目分析：

　读完题，我们可以根据题意将每天的情况分为3类，分别是：

　　①、及不买也不卖

　　②、买进一些股票

　　③、卖出一些股票

　

　因为求解最优解，我们可以定义 dp[ i ][ j ]表示第 i 天，有 j 只股票的最优解，同样分三种情况来讨论转移方程（分别对应上面三种情况）：

　　①、dp[ i ][ j ] = dp[ i - 1 ][ j ]

　　②、dp[ i ][ j ] = max( dp[ i ][ j ] , dp[ r ][ k ] - AS[ i ] * ( j-k ) )

　　③、dp[ i ][ j ] = max( dp[ i ][ j ] , dp[ r ][ k ] +BS[ i ]* ( k -j ) )

　这个转移 ，我们每次要枚举 i , j , r , k 才能转移，考虑降维度；

　

　首先我们想到，因为 r 必须满足 r<=i-w-1,对于i-w-1之前都可以通过方程①转移到 i-w-1天，所以我们就不需要枚举 r 转移了，每次记录一个前缀最大值即可；

　然后我们将方程②拆开:dp[ i ][ j ] =max(dp[ i ][ j] , dp[ i-w-1 ][ k ]+k*AS[i]-AS[i] * j，我们发现 dp[ i-w-1 ][ k ]+k*AS[i] 是一个与 j 完全无关的量，那么我们就可以每次计算的时候将 dp[ i-w-1 ][ k ]+k*AS[i] ，加入一个单调队列里维护对首，对于队尾小于它的就可以直接弹出队列，因为那些数答案既没有它优，而且对后面状态的影响更小，然后每次更新 dp[i][j]是就可以直接取出对首更新。

　

　这样转移变成了O(1)的，总时间复杂度为O(n2)，可以解决这道题;

实际上单调队列优化DP就是像本题中找到一个与‘ j ’ (不同的题不同) 无关的量用单调队列维护，每次取出对首即为最优解

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define inf 0xfffffff
#define min(a,b) a<b?a:b
#define max(a,b) a>b?a:b

struct node
{
int pos;
int f;
};

int AP[2001],BP[2001],AS[2001],BS[2001];
int dp[2001][2001];
node q[2001];
int head,tail;
int n,MaxP,W;

int main()
{
int i,j,cas,nowf;
scanf("%d%d%d",&n,&MaxP,&W);
for(i=1;i<=n;i++)
{
scanf("%d%d%d%d",&AP[i],&BP[i],&AS[i],&BS[i]);
}
for(i=0;i<=n;i++)
for(j=0;j<=MaxP;j++)
dp[i][j]=-inf;
for(i=1;i<=W+1;i++)
{
for(j=0;j<=(min(MaxP,AS[i]));j++)
dp[i][j]=-AP[i]*j;
}
dp[0][0]=0;
for(i=1;i<=n;i++)
{
for(j=0;j<=MaxP;j++)
dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[i-1][j]);
if(i<=W+1)
continue;
int pre=i-W-1; //队列里保存的是第i-W-1天的信息
head=tail=0;
for(j=0;j<=MaxP;j++) //因为是买，所以肯定越来越多,求DP[i][j]的时候，之前的0~~j-1的信息就存在在队列了
{
nowf=dp[pre][j]+j*AP[i];
while(head<tail && q[tail-1].f<nowf)
tail--;
q[tail].f=nowf;q[tail++].pos=j;
while(head<tail && q[head].pos+AS[i]<j)
head++;
dp[i][j]=max(dp[i][j],q[head].f-j*AP[i]);
}
head=tail=0;
for(j=MaxP;j>=0;j--) //因为是卖，道理同上
{
nowf=dp[pre][j]+j*BP[i];
while(head<tail && q[tail-1].f<nowf)
tail--;
q[tail].f=nowf;q[tail++].pos=j;
while(head<tail && q[head].pos-BS[i]>j)
head++;
dp[i][j]=max(dp[i][j],q[head].f-j*BP[i]);
}
}
int ans=0;
for(i=0;i<=MaxP;i++)
ans=max(ans,dp
[i]);
printf("%d\n",ans);
return 0;
}