【2014acm西安现场赛】F - Color

题目链接：

https://icpcarchive.ecs.baylor.edu/index.php?option=com_onlinejudge&Itemid=8&page=show_problem&problem=5052




题意：

t组数据，每组给定n,m,k。有n个格子，m种颜色，要求把每个格子涂上颜色且正好适用k种颜色且相邻的格子颜色不同，求一共有多少种方案，结果对1e9+7取余

解题思路：

首先可以将m 与后面的讨论分离。从m 种颜色中取出k 种颜色涂色，取色部分有C(m, k) 种情况；

然后通过尝试可以发现，第一个有k种选择，第二个因不能与第一个相同，只有(k-1) 种选择，第三个也只需与第二个不同，也有(k-1) 种选择。总的情况数为k ×(k-1)^(n-1)。

但这仅保证了相邻颜色不同，总颜色数不超过k种，并没有保证恰好出现k种颜色；

接着就是一个容斥问题，上述计算方法中包含了只含有2、3、…、(k-1)种颜色的情况，需要通过容斥原理去除。

假设出现p (2 <= p <= k-1)种颜色，从k种颜色中选取p种进行涂色，方案数为C(k,p) × p × (p-1)^(n-1)

综上，最后的总方案数为C(m,k) × ( k × (k-1)^(n-1) + ∑((-1)^p × C(k, p) × p × (p-1)^(n-1) ) (2 <= p <= k-1)

最后，需要注意1 ≤ n, m ≤10^9，在进行指数运算时，需要使用快速幂

对于组合数，只需要计算C(m,k)和C(k,p) (1 <= p <= k)，可以采用递推法，

即C[x,i] = C[x, i-1] * (n-i+1) / i，因为要取模，所以需要用到i的逆元

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

#pragma comment (linker,"/STACK:10240000000,10240000000")
#define mem(a,x) memset(a,x,sizeof a)
#define rep(i,n) for (int i=0;i<n;i++)
#define lp(i,l,r) for (int i=l;i<=r;i++)
#define rlp(i,r,l) for (int i=r;i>=l;i--)
#define T_T for (int _=RD(),test=1;test<=_;test++)

typedef long long ll;
typedef double db;
typedef pair<int, int> pii;

const db eps = 1e-13;
const int M = 1e9 + 7;

const char movech = 'a';
const int SIZE = 30;
const ll MAXN = 1e6 + 50;

ll inv1(ll a)
{
return a == 1 ? 1 : (long long)(M - M / a) * inv1(M % a) % M;
}
ll C1(ll n, ll m)
{
if (m < 0 || n < m)
{
return 0;
}
if (m > n - m)
{
m = n - m;
}
ll up = 1, down = 1;
for (ll i = 0; i < m; i++)
{
up = up * (n - i) % M;
down = down * (i + 1) % M;
}
return up * inv1(down) % M;
}
ll qpower(ll x, ll p)
{
ll ans = 1;
while (p)
{
if (p & 1)
{
ans = x * ans % M;
}
x = x * x % M;
p >>= 1;
}
return ans;
}
ll inv[MAXN + 200];
ll C[MAXN];
void getinv()
{
inv[1] = 1;
for (int i = 2; i <= MAXN; i++)
{
inv[i] = inv[M % i] * (M - M / i) % M;
}
}
void getfac(ll k)
{
C[0] = 1;
lp(i, 1, k)
{
C[i] = C[i - 1] * (k - i + 1) % M * inv[i] % M;
}
}
ll func(ll n, ll m, ll k)
{
ll ans = k * qpower(k - 1, n - 1) % M;
ll q = -1;
ll ans0;
ll k0 = k;
k--;
getfac(k0);
while (k > 0)
{
ans0 = q * C[k] * k % M * qpower(k - 1, n - 1) % M;
ans = (ans + ans0) % M;
k--;
q *= -1;
}
ans = (ans + M) % M;
ans = (ans * C1(m, k0)) % M;
return ans;
}
int main()
{
//freopen("data.txt","r",stdin);
// freopen("out.txt","w",stdout);
int T;
getinv();
scanf("%d", &T);
ll n, m, k;
for (int i = 1; i <= T; i++)
{
scanf("%lld%lld%lld", &n, &m, &k);
printf("Case #%d: %lld\n", i, func(n, m, k));
}
return 0;
}