[斜率DP优化]BZOJ 1911: [Apio2010]特别行动队 题解

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题目大意

给出一个有n个数的数组ai，要求将a分割成若干个区间，每个区间的价值是

令这个区间所有数的和为x，则该区间价值为A*x*x+B*x+C

一个分割方案ans=所有分割的区间的价值和，求最大的ans

解题分析

明显的线性DP，直接斜率优化。

转移方程

f[i]=max{f[j]+A∗(sum[i]−sum[j−1])2+B∗(sum[i]−sum[j−1])+C}

直接贴最后的结果

f[j]+A∗sum[j]2−f[k]+A∗sum[k]2sum[j]−sum[k]>2∗A∗sum[i]+B

唯一的注意点在于这道题求得是max，符号别搞错。

第一次推得时候推错了，忘给2∗A∗sum[i]∗sum[j]配A这个系数，结果错的离谱，差了好久才发现开始就推错了……

神奇的Markdown

复杂度：

时间：O(n)； 空间：O(n)；

#include<cstdio>
#define LL long long
using namespace std;
int n,que[1000005],hed,til;
LL f[1000005],sum[1000005],A,B,C;
inline void readi(int &x){
x=0; int f=1; char ch=getchar(),lst='+';
while ('0'>ch||ch>'9') {lst=ch; ch=getchar();}
if (lst=='-') f=-f;
while ('0'<=ch&&ch<='9') {x=x*10+ch-'0'; ch=getchar();}
x*=f;
}
inline void readL(LL &x){
x=0; int f=1; char ch=getchar(),lst='+';
while ('0'>ch||ch>'9') {lst=ch; ch=getchar();}
if (lst=='-') f=-f;
while ('0'<=ch&&ch<='9') {x=x*10+ch-'0'; ch=getchar();}
x*=f;
}
LL getX(const int i,const int j){return sum[j]-sum[i];}
LL getY(const int i,const int j){return f[j]+A*sum[j]*sum[j]-f[i]-A*sum[i]*sum[i];}
int main()
{
freopen("commando.in","r",stdin);
freopen("commando.out","w",stdout);
readi(n); readL(A); readL(B); readL(C);
hed=til=1; f[0]=sum[0]=que[1]=0;
for (int i=1,x;i<=n;i++){
readi(x); sum[i]=sum[i-1]+x;
while (hed<til&&getY(que[hed],que[hed+1])>=getX(que[hed],que[hed+1])*(2*A*sum[i]+B)) hed++;
x=sum[i]-sum[que[hed]]; f[i]=f[que[hed]]+A*x*x+B*x+C;
while (hed<til&&getY(que[til-1],que[til])*getX(que[til],i)<=getY(que[til],i)*getX(que[til-1],que[til])) til--;
que[++til]=i;
}
printf("%lld",f
);
return 0;
}