LuoguP2822[NOIP2016] 组合数问题 解题报告【组合数取模+矩阵前缀和】

题目描述

组合数Cmn表示的是从n个物品中选出m个物品的方案数。举个例子，从(1,2,3) 三个物品中选择两个物品可以有(1,2),(1,3),(2,3)这三种选择方法。根据组合数的定 义，我们可以给出计算组合数的一般公式：

Cmn=n!m!(n−m)!

其中n!=1×2×⋅⋅⋅×n

小葱想知道如果给定n,m和k，对于所有的0<=i<=n，0<=j<=min(i,m)有多少对(i,j)满足Cji是k的倍数。

输入输出格式

输入格式：

第一行有两个整数t,k，其中t代表该测试点总共有多少组测试数据，k的意义见 【问题描述】。

接下来t行每行两个整数n,m，其中n,m的意义见【问题描述】。

输出格式：

t行，每行一个整数代表答案。

输入输出样例

输入样例#1：

1 2

3 3

输出样例#1：

1

输入样例#2：

2 5

4 5

6 7

输出样例#2：

0

7

说明

【样例1说明】

在所有可能的情况中，只有C12=2是2的倍数。

【子任务】



解题报告

由于数据范围在2000内，我们可以用递推公式求出组合数，顺便对k取模，过后用矩阵前缀和统计就好了。

需要注意两点，一是初值(C0i=1,Cii=1)，二是矩阵前缀和的求法：

sum[i][j]=sum[i-1][j]+sum[i][j-1]-sum[i-1][j-1]+w;

代码如下：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=2000;
int c[N+5][N+5],sum[N+5][N+5];
int T,n,m,k;
int main()
{
scanf("%d%d",&T,&k);
for(int i=1;i<=N;i++)c[i][0]=1,c[i][i]=1;
for(int i=1;i<=N;i++)
for(int j=1;j<=i-1;j++)c[i][j]=(c[i-1][j-1]%k+c[i-1][j]%k)%k;
for(int i=1;i<=N;i++)
for(int j=1;j<=N;j++)
{
sum[i][j]=sum[i-1][j]+sum[i][j-1]-sum[i-1][j-1];
if(!c[i][j]&&j<=i)sum[i][j]++;
}
while(T--)
{
scanf("%d%d",&n,&m);
printf("%d\n",sum
[m]);
}
return 0;
}