同时寻找最大数和最小数的最优算法以及寻找最大的两个数所需的最少比较次数



同时寻找最大数和最小数的最优算法以及寻找最大的两个数所需的最少比较次数

           

 我们知道，在一个容量为n的数据集合中寻找一个最大数，不管用什么样的比较算法，至少要比较n-1次，就算是用竞标赛排序也得比较n-1次，否则你找到的就不能保证是最大的数。那么，在一个容量为n的数据集合中同时寻找最大数和最小数的最小比较次数是多少呢？

     从一个容量为n的数据集合中同时找到最大数和最小数的最优方法是：首先让所有的元素参与两两比较，这样总共比较了n/2次，最大数肯定在胜者组中，最小数肯定在败者组中；然后从容量为n/2的胜者组中找到最大的数，最少要比较n/2 - 1次；同理，从容量为n/2的败者组中找到最小的数，最少要比较n/2 - 1次。所以总共需要比较(3n/2) - 2 次。以上假设n为偶数。奇数同理。

这是同时寻找最大数和最小数的最优算法。

 

    那么，我们要从一个容量为n的数据集（假设该数据集是一个集合，即没有相同的元素）中找到第二大元素需要多少次比较呢？

    一种习惯的方法是：先找出最大的元素，这需要比较n-1次；然后从剩下的n-1个元素中找到最大的，这个元素就是我们要找的第二大元素，这需要比较n-2次。做一总共比较2n-3次。

但是，

    还有一个更优的方法：

（1） 我们考虑淘汰赛的比较法，淘汰赛结束后，找出冠军我们需要n-1次比较；如下图所示，找到12需要比较7次。

（2） 此时我们要考虑到，亚军应该存在于败给冠军的这些选手中（否则，每个元素都至少有两个元素比它大），由于与冠军比过的元素个数为┌log2n┐，从这些元素中找到最大值需要比较┌log2n┐ - 1次；如下图所示，亚军应该在10,11,4这三个元素中。否则，如果亚军是5，那么冠军12比它大，与它比较过的10也比它大，至少两个元素大于5，所以5肯定不是亚军的候选者。

 



（3）从而找出亚军要比较n-1+┌log2n┐-1 = n-2+┌log2n┐次比较。这个算法是寻找亚军的最优算法。