C/C++中的整数和浮点数在计算机中是如何表示的？

一、整数在计算机中的表示

在C/C++中，整数一般分为无符号数（unsigned char、unsigned short、unsigned int等）和有符号数（char、short、int、long等），在计算机中通过补码来表示，那么有童鞋会问了，不是有那什么原码、反码之类的吗？为什么不用它们而偏偏用补码呢？

一开始我也有这样的困惑，于是通过各种查，各种看，算是理解了一点点，这里不打算详细解释原码和反码，只举几个例子说明在计算机中为什么不用它们表示十进制数，而用补码来表示。

我们能认识0、1、2、3、、、9等自然数，然而计算机却不认识，计算机“笨”的只认识0和1，所以那些大神们就通过各种手段，将现实世界中的各种信息都转化为一连串由0和1组成的序列。然后计算机就通过不同的解读方式，对这一系列的01串串根据具体的上下文解释成不同的信息。

我们都知道

1 + (-1) = 0

，那么如果用原码、反码来表示这个会怎样呢？

原码：

原码         十进制
0000 0001         1
+ 1000 0001        -1
----------------
1000 0010        -2

反码：

反码         十进制
0000 0001         1
+ 1111 1110        -1
----------------
1111 1111        -0  // 需要通过转换为原码，才能直观的看出所表示的实际数字，原码：1000 0000

通过上面两个例子，我们看到，不管是用原码还是反码，都不能正确的表达结果。另外，我们可以发现，在原码和反码中，对于0的表示有两种，一种是

0000 0000

(+0)，一种是

1000 0000

(-0)，这也是一种缺陷，最好的方式是在给定一个十进制整数的范围内，该范围内的每一个数在相应的二进制表示中有且只有一个与之对应，也就是存在一一映射的关系。那么如何解决上述的问题呢？

终于等到补码登场了，一般主角都压轴，哈哈。补码，就是在反码的基础上再加1，比如-1的补码就是

1111 1110

+

1

=

1111 1111

，用补码来进行上面的计算就是：

反码         十进制
0000 0001         1
+ 1111 1111        -1
----------------
1 0000 0000        0    // 最高位的1被丢弃

结果为0，符合我们的实际逻辑。我们再来看看前面提到的一一映射的问题，在C/C++中，

char

表示一个8bit的有符号整数，在计算机中用补码表示，所能表示的十进制范围为

[-128, 127]

共256个数，那么这个范围是怎么得来的呢？

补码    十进制
0000 0000    0
0000 0001    1
...
...
...
0111 1111    127（2^7 - 1）
1000 0000    -128（-2^7 + 0）
1000 0001    -127（-2^7 + 1）
...
...
...
1111 1111    -1（-2^7 + 127）

从上面可以看出，前128个数表示正数（最高位以0开始），后128个表示负数（最高位以1开始）。对于

unsigned char

来说，由于其为无符号数，所以所能表示的最大范围为

[0, 255]

。对于其它的整数数据类型可以通过类似的方法得到他们的表示范围，感兴趣的童鞋可以自己算算试试。

二、小数在计算机中的表示

对于

float

来说，在一般机器上都是以四个字节即32bit来表示，那么它在计算机中是怎么表示的呢？

IEEE 754规定，对于32位的浮点数，最高位的那位表示符号位

s

，紧接着的8位是指数

E

，剩下的23位为有效数字

M

或者称为尾数。

图1 32位浮点数在计算机中的表示

图2 个人理解

在十进制中，对于任何一个小数都可以用科学计数法来表示，比如

12
a692
3.567

的科学计数法就是

1.23456*10^2

，

0.0097

就是

9.7*10^-3

；同样地，在二进制的世界中，任何一个小数也可以用类似的科学技术法来表示，只不过不在以

10

为底，而是以

2

为底。那么对于十进制的

123.567

和

0.0097

在二进制中如何表示呢？

十进制小数：123.567

在二进制中的表示:
1. 首先取整数部分123，用二进制中表示为1111011。
2. 小数部分.567如何表示？
我们都知道，在十进制整数进行二进制转化的时候有一个方法，就是对十进制数进行不断的除以2，然后取余数（要么为0，要么为1），然后按逆序排列就得到了十进制整数的二进制表示。
那么对于十进制的小数该如何用二进制表示是否找到了灵感？对，就是对小数部分不断的乘以2，然后对得到的新小数取整数部分（要么为0，要么为1）直到小数部分为0或者已经达到精度上限（比如所取得0、1已经达到23位了，再继续乘下去，对于32位的float来说，已经不能继续存储了）。

0.567 * 2 = 1.134 …… 取1 ， 基数 = 0.134
0.134 * 2 = 0.268 …… 取0 ， 基数 = 0.268
0.268 * 2 = 0.563 …… 取0 ， 基数 = 0.563
0.563 * 2 = 1.126 …… 取1 ， 基数 = 0.126
……
……
……
最终结果为：10010001001001101110100。（23位）
所以.567在二进制中的表示为：.10010001001001101110100。
因而123.567在二进制中的表示为：1111011.10010001001001101110100。
用科学计数法表示为：1.1110 1110 0100 0100 1001 1011 1010 0 * 2^6。
通过IEEE 754的规定，我们可以很容易将其在计算机中表示：
符号位：0
指数位：Exp - 127 = 6 --> Exp = 133 -->1000 0101
尾数部分：1110 1110 0100 0100 1001 101
【IEEE 754规定，在计算机内部保存M时(1.XXXXXXX)，默认这个数的第一位总是1，因此可以被舍去，只保存后面的xxxxxx部分。】
所以123.567在计算机中的完整表示就是：
0 1000 0101 1110 1110 0100 0100 1001 101

通过在线工具，可以验证上面结果的正确性，如下图：

图3 123.567在计算机中的表示

对于

0.0097

也可以用同样的方法得到其在计算机内部的表示，这里就不在赘述了，有兴趣的童鞋可以自己尝试一下，然后通过上面提到的在线工具验证一下。

这里稍微再提一下，在C/C++中，

float

所能保持的精度一般为小数位6-7位，那么这个6或7是怎么得来的呢？通过上面我们知道，对于32位的浮点数，后23位表示的是小数部分，总共可以表示

2^23 = 8388608

，也就是说，后面的23位最多可以表示十进制小数的前7位小数位，通过四舍五入，至少可以保证6位的精度是正确的，至于第7位......呵呵！

好了，通过上面的描述，基本了解了

float

在计算机内存是如何表示的了，那么

double

在计算机中如何表示呢？其实和

float

的表示原理是一样的，只是

double

一般用64位bit来表示，最高位还是符号位，但是指数部分用了11位来表示，而剩余的52位全用来表示尾数（所能表示的精度一般为

2^52 = ？

15-16位），其余的规则和32位的

float

没啥区别，所以这里就仅放一张图，各位童鞋可以慢慢去体会。

图4 64位浮点数在计算机中的表示

参考

你应该知道的浮点数基础知识
浮点数的二进制表示
IEEE 754-1985

（完）