HDU 1171 Big Event in HDU （多重背包，可转换为01背包）+对于背包的一点认识 4000

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题目大意：有n（n<=50）种东西，告诉你每种东西的价值val（val<=50）和数量num（num<=100），现在要你把这些东西分为两组，使得两组的价值总和之差尽量小。求两组的价值和，大者在前。

前置技能：我默认读这篇文章的读者已经了解过了01背包、完全背包和多重背包了。如果没有也没关系，给推荐个网站：背包九讲。




再来稍微谈下多重背包的思路，当一种物品的数量足够多，以至于总重量比背包的容量都大的话，相当于这种物品的数量有无穷多个，这时候可以转化为完全背包求解。

相反，当一种物品的数量不够多的时候，可以把这一堆同样的物品拆分成多个单个的物品，这时候就可以用01背包求解了。但是呢，这样拆分的话复杂度太高了，所以有另一种方式，我称之为倍增法，先拆出1个，如果剩下的还能拆再拆出2个（这2个看作是一个物品），如果剩下的还能拆再拆出4个（这4个看作是一个物品）……依次类推拆出2的次幂个。如果不够了，那么剩下的就是一个物品。

例如有13个某种物品，先拆出1个，还剩12个，再拆出2个，剩余10个，再拆出4个，剩余6个，再拆出8个，发现不够了，所以剩下的6个看作一个物品。这样本来13个物品被拆成了4个物品，时间复杂度大大降低。





思路：我们假设物品总价值为sum，我们发现，最优的情况是两个分组各占一半，稍差一点的情况是一者不到一半，另一者比一半多。所以我们就可以看看一个容量为 sum/2 的背包能装多满。因为每个物品有固定的数量，这就是多重背包问题。有人可能会说，这里只有价值，没有背包的容量啊，其实题目做多了你可以发现，只有一个值的时候价值和重量是可以共用的。

下面提供两种思路：

转换为01背包问题：01背包就是有n种东西，要么取，要么不取，因为最多一共有50*100=5000件物品，所以可以把每个价值相同的物品拆成单个物品，然后用01背包求解。这种思路简单，代码也少，但是时间复杂度高，如果数据再大点就不适用了。

直接用多重背包解决：也就是用所有的物品往一个容量为 sum/2 的背包里装，装到最满顶多一半，这时候的值就是少者的值。



上图上面的是用01背包思路做的，下面的是用多重背包思路做的，可以发现用多重背包要快很多，当然了，代码会稍微多点，不过直接套模板就可以了。

注意：输入时当n<0时退出，也不可以写成 n==-1 时退出，否则会答案错误或者超时。

先给出01背包的代码：

#include<stdio.h>
#include<string.h>

int val[5010],dp[250010];

int max(int a,int b)
{
if(a>b) return a;
else return b;
}

int main()
{
int i,j,n,a,b,v,sum,tol;
while(~scanf("%d",&n)&&n>=0)
{
tol=0; //下标
sum=0; //总价值
for(i=1;i<=n;i++)
{
scanf("%d%d",&a,&b);
sum+=a*b;
while(b--) val[tol++]=a; //拆成单个
}
v=sum/2; //一半的容量
memset(dp,0,sizeof(dp));
//01背包核心代码
for(i=0;i<tol;i++)
for(j=v;j>=val[i];j--)
dp[j]=max(dp[j],dp[j-val[i]]+val[i]);
printf("%d %d\n",sum-dp[v],dp[v]);
}
return 0;
}

然后是多重背包的代码，上面的部分可以直接用作模板，我测试过个3版本的多重背包，下面这个是最快的。当然还可能存在更快的也未可知……

#include<stdio.h>
#include<string.h>

int n,v,dp[250010];

int max(int a,int b)
{
if(a>b) return a;
else return b;
}

//01背包，当前物品价格、重量
void  ZOP(int prz,int wt)
{
int j;
for(j=v;j>=wt;j--)
dp[j]=max(dp[j],dp[j-wt]+prz);
}

//完全背包，当前物品价格、重量
void CP(int prz,int wt)
{
int j;
for(j=wt;j<=v;j++)
dp[j]=max(dp[j],dp[j-wt]+prz);
}

//多重背包，当前物品价格、重量、数量
void MP(int prz,int wt,int cnt)
{
//如果放不下全部，则转化为完全背包求解
if(wt*cnt>=v) CP(prz,wt);
else //否则，转化为01背包求解
{ //将cnt个相同物品分多组，每组1，2，4，8…个
//类似于倍增法，最后剩下的可能不是2的次幂
int k=1;
while(k<cnt)
{ //k个物品的价值和重量分别为 k*prz,k*wt
ZOP(k*prz,k*wt);
cnt-=k;
k<<=1;
}
if(cnt>0) ZOP(cnt*prz,cnt*wt);
}
}

int main()
{
int i,sum,val[55],num[55];
while(~scanf("%d",&n)&&n>=0)
{
sum=0; //总价值
for(i=1;i<=n;i++)
{
scanf("%d%d",&val[i],&num[i]);
sum+=val[i]*num[i];
}
v=sum/2; //一半的体积
memset(dp,0,sizeof(dp));
//多重背包求解
for(i=1;i<=n;i++)
MP(val[i],val[i],num[i]);
printf("%d %d\n",sum-dp[v],dp[v]);
}
return 0;
}