【密码学】C语言实现RSA模幂运算

RSA模幂运算

1. 实验内容

按照平方乘算法和模重复平方法，分别计算am mod n

2. RSA介绍

RSA公钥加密算法是1977年由罗纳德·李维斯特（Ron Rivest）、阿迪·萨莫尔（Adi Shamir）和伦纳德·阿德曼（Leonard Adleman）一起提出的。1987年7月首次在美国公布，当时他们三人都在麻省理工学院工作实习。RSA就是他们三人姓氏开头字母拼在一起组成的。

RSA是目前最有影响力和最常用的公钥加密算法，它能够抵抗到目前为止已知的绝大多数密码攻击，已被ISO推荐为公钥数据加密标准。

今天只有短的RSA钥匙才可能被强力方式解破。到2008年为止，世界上还没有任何可靠的攻击RSA算法的方式。只要其钥匙的长度足够长，用RSA加密的信息实际上是不能被解破的。但在分布式计算和量子计算机理论日趋成熟的今天，RSA加密安全性受到了挑战和质疑。

RSA算法基于一个十分简单的数论事实：将两个大质数相乘十分容易，但是想要对其乘积进行因式分解却极其困难，因此可以将乘积公开作为加密密钥。

3. 模幂运算

模指数运算的快速算法

例如求x16，直接计算的话需做15次乘法。然而如果重复对每个部分结果做平方运算即求x，x2，x4，x8，x16则只需4次乘法。

RSA算法模幂运算

求am可如下进行，其中a，m是正整数：

将m表示为二进制形式bk bk-1…b0，即

m=bk2k+bk-12k-1+…+b12+b0

因此bk=0 而 bk-i=1或者bk-i=0

am=ab0·(a2)b1·(a4)b2···(a2k-1)bk-1·(a2k)bk

RSA算法模幂运算

将m表示为二进制形式bk bk-1…b0，即

m=bk2k+bk-12k-1+…+b12+b0

因此bk=0 而 bk-1=1或者bk-i=0

am=((···(((abk)2·abk-1)2·abk-2)2···ab1)2·ab0)

4. RSA算法

例：求a19

19=1×24+0×23+0×22+1×21+1×20

所以

a19=((((a1)2a0)2a0)2a1)2a1

5. 代码实现

#include <stdio.h>

int main()
{
int a, m, n, a1, m1, n1, a2, m2, n2;
int i, j, cnt, quotient, tmp, s1 = 1, s2 = 1;
int mm[20];

printf("请输入数字(a, m, n):");
scanf("%d%d%d", &a, &m, &n);
a1 = a2 = a;
m1 = m2 = m;
n1 = n2 = n;
quotient = m1;
for (i = 0; quotient != 0; i++)
{
mm[i] = quotient % 2;
quotient = quotient / 2;
}
j = i;
printf("模重复平方根算法：\n");
for (i = 0; i < j; i++)
{
if (mm[i] == 1)
{
s1 = (s1 * a1) % n1;
}
a1 = (a1 * a1) % n1;
printf("i = %d, s = %d, a = %d\n", mm[i], s1, a1);
}
printf("最终结果为：s = %d\n\n\n", s1);

for (i = 0; i < j / 2 ; i++)
{
tmp = mm[i];
mm[i] = mm[j-i-1];
mm[j-i-1] = tmp;
}
cnt = j;
printf("平方乘算法：\n");
for (i = 0; i < j; i++)
{
s2 = (s2 * s2) % n2;
printf("%d, ",s2);
if (mm[i] == 1)
{
s2 = (s2 * a) % n2;
}
printf("i = %d, b%d = %d, s = %d\n", cnt-1, cnt-1, mm[i], s2);
cnt--;
}
printf("最终结果为：s = %d\n", s2);

return 0;
}