[数论] NKOJ 4252 数三角形

问题描述

刚刚上高中的洁洁在学习组合数学的过程中遇到一道麻烦的题目，她希望你能帮助她解决。给定一张无向完全图 G，其中大部分边被染成蓝色，但也有一些边被染成红色或者绿色。现在，洁洁需要给这张图的多样性进行打分。一张图的多样性取决于它的同色和异色三角形的个数。具体来说，G 中每有一个三边颜色都互不同的三角形（异色三角形）可以得 3 分，每有一个三边颜色都相同的三角形（同色三角形）则要被扣掉 6 分，其它三角形不得分也不扣分。

现在，请你写一个程序来计算 G 的多样性分数。

输入格式

第一行两个正整数 n 和 m，其中 n 表示 G 中顶点的个数，m表示 G 中红色或者绿色的边的条数。

接下来 m行每行包括三个整数 a,b,c代表连接顶点 a和顶点 b的边颜色为红色 (c=1)或者绿色 (c=2)。

输出格式

一行G的多样性得分。

样例输入 1

4 3

1 2 1

1 3 1

2 3 1

样例输出 1

-6

样例输入 2

4 4

1 2 1

1 3 1

2 3 1

1 4 2

样例输出 2

0

题解：

本题考查组合计数方法，算两次。本题的关键是计算∠的个数。一个角由一个顶点和两条边组成。

用A1,A2,A3分别表示两边为红绿，红蓝和绿蓝的∠的个数。

用B1,B2,B3分别表示两边都是红，绿和蓝的∠的个数。

用S表示异色三角形的个数。

用T表示三边同色三角形的个数。

用L表示其它三角形的个数，即只有两种颜色的三角形的个数。

用算两次的方法，我们可以得到，

3S+2L=A1+A2+A3

L+3T=B1+B2+B3

这样一来，总得分为

3S-6T=A1+A2+A3-2B1-2B2-2B3

注意到所有Ai和Bi都可以简单地通过算出每个节点连出的不同颜色的边的条数算出。

这样一来就可以在线性时间完成计算。

#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <queue>
using namespace std;

long long dr[100001],dg[100001],db[100001];
int n,m;

int main()
{
scanf("%d %d\n",&n,&m);
int a,b,c;
for (int i=1;i<=m;i++)
{
scanf("%d%d%d\n",&a,&b,&c);
if (c==1)
{
dr[a]++;
dr[b]++;
}
if (c==2)
{
dg[a]++;
dg[b]++;
}
}
for (int i=1;i<=n;i++)
{
db[i]=(long long)(n-1)-dr[i]-dg[i];
}

long long C=0;
for (int i=1;i<=n;i++)
{
C+=dr[i]*dg[i];
C+=dr[i]*db[i];
C+=dg[i]*db[i];
C-=(long long)(dr[i]-1)*dr[i];
C-=(long long)(dg[i]-1)*dg[i];
C-=(long long)(db[i]-1)*db[i];
}

printf("%lld\n",C);
return 0;
}