组合数性质的证明Ⅰ

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A(n,m)=n×(n-1)×…×(n-m+1)=n!/(n-m)!　　　　　　　 　　　①

C(n,m)=A(n,m)/m!=n!/[(n-m)!×m!]　　　　　　　　　　　　②

<4>组合数性质证明Ⅰ

⑴对于0≤m≤n,有C(n,m)=C(n,n-m)

这是显而易见的

首先我们举个例子:现在一个队伍里面有n个队员,要先选择m个队长,求:有多少个方案数;　　这里我们可以得出组合数方程方案数ans1=C(n,m)对吧。

我们现在反过来看这道题　他是让我们选择m个队长　也就是说有(n-m)个队员　我们可以可以看成选择(n-m)个队员？所以又可以得出来组合数方程ans2=C(n,n-m)

又因为答案的唯一性，所以ans1=ans2=>C(n,m)=C(n,n-m)因为不可能从n个队员里面选比n还多的队长　所以得出结论⑴对于0≤m≤n,有C(n,m)=C(n,n-m)。

要是用算数方法证明也很简单将C(n,m)，C(n,n-m)经过②展开也可以得出结论。在这就不解释了

⑵C(n,m)=C(n-1,m)+C(n-1,m-1)

呃，笔者文笔有限这个性质编不出故事而且还是蒟蒻级别只能硬拆所以呢可能有点证明枯燥

这个性质很有用　可以用来递推求出组合数但是！我还是蒟蒻级别只能硬拆

我们将左边拆开就是n!(n−m)!×m!也就是n×(n−1)×(n−2)×.....×(n−m+1)m!

右边的拆开就是(n−1)!(n−m−1)!×m!

　　　　　　　+

(n−1)!×m(n−m)!×(m−1)!×m(×m我自己加上去的)

同样上下约分就可以得出来n!(n−m)!×m!

　　　　　　　　　　=左边

得证

⑶C(n,0)+C(n+1,1)+C(n+2,2)+ …+C(n+r,r)=C(n+r+1,r)

这个性质其实证明也很简单，我们将左边反着看就是

C(n+r,r)+C(n+r-1,r-1)+C(n+r-2,r-2)+…+C(n+1,1)+C(n,0)

还记的上面的那个公式吗？是不是感觉证明这性质不用那公式证明都对不起它了？

我们先将它摆出来C(n,m)=C(n-1,m)+C(n-1,m-1)②

为了让⑶右边和左边看起来很像，我们将②带入

C(n+r+1,r)=C(n+r,r)+C(n+r,r-1)

是不是有一个一样？！很简单吧，整个式子就化成了我们要证明

C(n+r-1,r-1)+C(n+r-2,r-2)+…+C(n+1,1)+C(n,0)=C(n+r,r-1)

哈哈是不是又可以代入？（　 C(n+r,r-1)=C(n+r-1,r-1）+C(n+r-1,r-2） 　)一直这样代入消元，最终式子也就变成了0=0

所以说也就 Q.E.D（证毕）了

⑷C(n,l)*C(l,r)=C(n,r)*C(n-r,l-r)

其实这个题目的证明是很容易的，只要用组合的定义（强拆），就可以直接得到证明。

C(n,l)×C(l,r)={n!/[(n-l)!×l!]}×{l!/[(l-r)!r!]}={n!/[(n-r)!*r!]}×{(n-r)!/[(n-l)!(l-r)!]}=C(n,r)×C(n-r,l-r)

为了更加理解，我这次来编个故事

在很南很南的南方，有一个叫wulala的dalao开了一座工厂，都是废话赶紧入正题

这个式子所描述的意义就是，在母本忠有n个不同元素，要先在其中取出l个，再在l个中取出r个样本的取法的数量；但是wulala爱创新，所以它先从n个不同元素中先取出r个，再在剩下的n-r个元素中取出l-r个元素。其实这两种取法的结果，都是得到三组，分别为n-l个，l-r个和r个元素。二者的结果都是一样的，所以，无论中间如何取，结果都是一样的。依照乘法原理也就得出了结论