【HDU - 1465】 不容易系列之一 【错排 == 递推 or 二项式反演公式】

大家常常感慨，要做好一件事情真的不容易，确实，失败比成功容易多了！

做好“一件”事情尚且不易，若想永远成功而总从不失败，那更是难上加难了，就像花钱总是比挣钱容易的道理一样。

话虽这样说，我还是要告诉大家，要想失败到一定程度也是不容易的。比如，我高中的时候，就有一个神奇的女生，在英语考试的时候，竟然把40个单项选择题全部做错了！大家都学过概率论，应该知道出现这种情况的概率，所以至今我都觉得这是一件神奇的事情。如果套用一句经典的评语，我们可以这样总结：一个人做错一道选择题并不难，难的是全部做错，一个不对。

不幸的是，这种小概率事件又发生了，而且就在我们身边：

事情是这样的——HDU有个网名叫做8006的男性同学，结交网友无数，最近该同学玩起了浪漫，同时给n个网友每人写了一封信，这都没什么，要命的是，他竟然把所有的信都装错了信封！注意了，是全部装错哟！

现在的问题是：请大家帮可怜的8006同学计算一下，一共有多少种可能的错误方式呢？

Input

输入数据包含多个多个测试实例，每个测试实例占用一行，每行包含一个正整数n（1 < n <=20），n表示8006的网友的人数。

Output

对于每行输入请输出可能的错误方式的数量，每个实例的输出占用一行。

Sample Input

2

3

Sample Output

1

2

题意很简单，就是裸的错排。

第一种 ，是有递推式的。

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define  LL long long
#define fread() freopen("in.txt","r",stdin)
#define fwrite() freopen("out.txt","w",stdout)
#define CLOSE() ios_base::sync_with_stdio(false)

const int MAXN = 25;
const int MAXM = 1e6;
const int mod = 1e9+7;
const int inf = 0x3f3f3f3f;

LL cp[MAXN]={0,0,1};
void init(){
for(LL i=3;i<MAXN;i++)  //  错排
cp[i]=(i-1)*(cp[i-1]+cp[i-2]);
}

int main(){
CLOSE();
//  fread();
//  fwrite();
init();
int n;
while(scanf("%d",&n)!=EOF){
printf("%lld\n",cp
);
}
return 0;
}

第二种 ，就是利用二项式反演公式。



我们设g(i)表示正好有i个信封错排，那么我们可以得到一个等式

n! = C(n,0)g(0) + C(n,1) g(1) ….+C(n,n) * g(n)



f(n)=n! .

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std  ;
#define  LL long long
#define fread() freopen("in.txt","r",stdin)
#define fwrite() freopen("out.txt","w",stdout)
#define CLOSE() ios_base::sync_with_stdio(false)

LL fac[25]={1,1,2} ;
void  init(){
for(LL i=3;i<25;i++)
fac[i]=fac[i-1]*i;
}
LL C(LL n,LL m){
LL ans=1;
for(LL i=m+1;i<=n;i++) ans*=i;
for(LL i=1;i<=n-m;i++) ans/=i;
return ans;
}
int main(){
CLOSE();
//  fread();
//  fwrite();
init();
int n;
while(scanf("%d",&n)!=EOF){
LL ans=0;
for(LL i=0;i<=n;i++){
ans+=((n-i)&1?-1:1)*C(n,i)*fac[i];
}
printf("%lld\n",ans);
}
return 0;
}