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拟合时用sigmoid函数代替阶跃函数

2017-09-30 13:43 861 查看

设这两段二次函数的解析式分别为
$a_1x^2+b_1x+c$
和
$a_2x^2+b_2x+c$
，分界点为
$x=x_0$
。
那么这个函数整体可以表达为

$f(x) = (a_1x^2+b_1x+c_1) (1-u(x-x_0)) + (a_2x^2+b_2x+c) u(x-x_0)$

其中
$u(x)=\left\{ \begin{array}{rl} 1, & \text{if } x \ge 0 \\ 0, & \text{if } x < 0 \end{array} \right.$
为阶跃函数。

假设已经测得的数据点为
$(x_i,y_i), 1 \le i \le n$
。误差函数不妨就取最小二乘误差，即
$E=\sum_{i=1}^n [y_i-f(x_i)]^2$
，其自变量为
$f$
中所有的参数（
$a_1,b_1,c_1,a_2,b_2,c_2,x_0$
）。题主下面要做的事情就是求得这组参数的值以使得误差函数最小化了。

不过，因为阶跃函数有间断点，上述误差函数最小化起来有困难。

为了解决这个问题，可以用sigmoid函数
$\sigma(x) = \frac{1}{1+\text{e}^{-wx}}$
来代替阶跃函数
$u(x)$
。

这里引进了一个新的参数
$w>0$
，它控制的是sigmoid函数的陡峭程度，当
$w \rightarrow + \infty$
时sigmoid函数就变成了阶跃函数。不过sigmoid函数处处可导，优化起来就比较简便了。

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