[算法] LCA 最近公共祖先 （Tarjan）

　　今天让我们来看看LCA算法中的一个离线算法Tarjan

　　首先，我们必须先明确什么是LCA，也就是最近公共祖先。对于有根树上的两个结点u、v，最近公共祖先LCA(u,v)表示一个结点x，满足x是u、v的公共祖先且x的深度尽可能大，也就是离u、v最近的公共祖先（这不是废话？)。

　　那么什么是LCA的Tarjan算法呢？

　　利用并查集优越的时空复杂度，我们可以实现LCA问题的O(n+Q)算法，这里Q表示询问的次数。Tarjan算法基于深度优先搜索的框架，对于新搜索到的一个结点，首先创建由这个结点构成的集合，再对当前结点的每一个子树进行搜索，每搜索完一棵子树，则可确定子树内的LCA询问都已解决。其他的LCA询问的结果必然在这个子树之外，这时把子树所形成的集合与当前结点的集合合并，并将当前结点设为这个集合的祖先。之后继续搜索下一棵子树，直到当前结点的所有子树搜索完。这时把当前结点也设为已被检查过的，同时可以处理有关当前结点的LCA询问，如果有一个从当前结点到结点v的询问，且v已被检查过，则由于 进行的是深度优先搜索，当前结点与v的最近公共祖先一定还没有被检查，而这个最近公共祖先的包涵v的子树一定已经搜索过了，那么这个最近公共祖先一定是v 所在集合的祖先。

　　其实我认为这个算法就是将当前子树的情况全部处理完，然后在将子树合并即可得到最终答案

　　

　　Tarjan算法优点：令人眼红时间复杂度O(n+Q)

　　Tarjan算法缺点：如果题目要求强制在线操作（比如说查询一个修改一个什么值），而你又只会Tarjan算法的话，那么你就BOOM~了

　　

　　

　　基本思路：

　　下面详细介绍一下Tarjan算法的基本思路：

　　1.任选一个点为根节点，将当前节点son设置为根节点

　　2.遍历该点son所有子节点to

　　3.若是to有子节点，递归将to作为当前节点u，进行操作2，退出时将to的父亲标记为当前节点son

　　4.将当前节点son标记为访问过

　　5.寻找与当前节点son有询问关系的点x

　　6.若x已经被访问过，则可以确认son和x的最近公共祖先为find(x)。find操作等价于并查集find操作，可以加上路径压缩。

int find(int x) {    //和并查集的操作一致（顺便路径压缩）
if(x==f[x]) return x;
else return f[x]=find(f[x]);
}

　　伪代码：

void Tarjan(int fa,int son) {
for(int i=当前节点son的儿子) {
Tarjan(son,i);
f[i]=son;
}
vis[son]=true;
for(int i=与当前节点son有询问关系的点)
if(vis[to])
ans=find(i);
return ;
}

　　多说无益，让我们来看图（其实上面都是废话）：

　　


　　这是一棵有5个节点的树

　　举以下经典例子：

　　2-3

　　1-3

　　

　　模拟过程：

　　1.当前节点：son=0，搜索儿子

　　2.当前节点：son=1，搜索儿子

　　3.当前节点：son=3，搜索儿子，当前节点没有儿子，保存父亲 f[3]=1，标记访问 vis[3]=true，寻找与当前节点3有询问关系的结点（1，2），vis[1]=false，vis[2]=false，不操作，结束当前层操作，回到上一层

　　4.当前节点：son=1，搜索儿子

　　5.当前节点：son=4，搜索儿子，当前节点没有儿子，保存父亲 f[4]=1，标记访问 vis[4]=true，寻找与当前节点1有询问关系的结点（无节点），结束当前层操作，回到上一层

　　6.当前节点：son=1，搜索儿子，当前节点没有儿子，保存父亲 f[1]=0，标记访问 vis[1]=true，寻找与当前节点1有询问关系的结点（3），vis[3]=true，ans=find(3)=1，结束当前层操作，回到上一层

　　7.当前节点：son=0，搜索儿子

　　8.当前节点：son=2，搜索儿子，当前节点没有儿子，保存父亲 f[2]=0，标记访问 vis[2]=true，寻找与当前节点2有询问关系的结点（3），vis[3]=true，ans=find(3)=0，结束当前层操作，回到上一层

　　9.当前节点：son=0，搜索儿子，当前节点没有儿子，保存父亲 f[0]=0，标记访问 vis[2]=true，寻找与当前节点2有询问关系的结点（无节点），结束当前层操作，回到上一层

　　10.退出

　　结果：0 1

到这里我们的模拟就结束了！

你学懂了么？

是不是对Tarjan算法有了更深的认识了呢？

题库-题解（未完待续）：

CodeVS 2370 小机房的树 传送门 题解

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