数字图像处理--空间滤波

空间滤波基础

空间滤波机理：空间滤波器是由一个邻域（最典型的是一个较小的矩形），对该邻域包围的图像像素执行的预定义操作组成。滤波会产生一个新的像素，新像素的坐标位于邻域的中心的坐标（默认情况），像素的值是滤波操作的结果。

如果在滤波器执行的是线性操作，则称该滤波器是线性空间滤波器。反之，称为非线性空间滤波器。

滤波器的尺寸一般为mxn,假设m = 2a+1,n = 2b + 1;其中a,b 为正整数。所以滤波模板的尺寸是奇数，3x3,5x5,7x7……

线性空间滤波一般表达式为：


（1-1）

空间相关与卷积

相关：相关是滤波器模板移过图像并计算每个位置的乘积之后的处理，卷积的机理类似，但是卷积的滤波器需要首先旋转180度。





如上图所示，即为一维情况下相关计算过程，模板为w ,原图像为左边图像。模板从左到右每次和原图像的每个位置对齐然后对应位置做乘法，然后计算加法。即为一次相关计算完成，当模板作用于图像边界时，应该给图像边界填充元素，一般可以填充为0。模板依次向右移动，完成相关计算。最后将相关的结果剪裁为和图像大小相同的阵列。

上面我们选择的函数是一个特殊函数，一般称为离散单位冲激。该函数的特点是：一个函数和离散单位冲激相关，在该冲激位置产生了这个函数的一个翻转版本。

卷积操作，和相关操作非常类似，卷积操作的一个特点是某个函数与某个单位冲激卷积，得到一个在该冲激处的这个函数的拷贝。因此，我们首先将模板旋转180度，然后做和相关操作一样的操作，就得到卷积操作。





上面的卷积操作，首先将滤波器（模板）旋转了180度，然后做和相关一样的操作，就称之为卷积操作。

上面探讨的是一维的情况，而图像都是二维的矩阵，因此我们将上面的一维扩展到二维矩阵的情况，



上图中从左到右分别是原始图像，滤波器，和扩充之后的图像。从图中可以看到，由于滤波器是3x3规模的，因此图像填充操作分别在上下左右各加2行（列）。

下面看二维相关操作：



上图中，滤波器先进行列扫描，在进行行扫描，最终得到相关操作结果。

下面来看卷积操作：



如上图，卷积操作先将滤波器旋转180度，沿着中心转180度。或者左右、上下先后对称操作。

相关操作的一般公式描述：


（1-2）

上式的操作，使得w中的每一个元素访问f中的每一个元素（两两见一次面，类似于多相式乘法）。

卷积操作的一般公式描述：


（1-3）

卷积操作和相关操作的区别在于等式右边使用了“-”号，表示将模板旋转180度。

对于空间滤波的任务，相关和卷积是优先选择的滤波方法。重要的是对不同的任务选择合适卷积模板。

空间滤波器摸板的产生

产生一个m X n 的线性空间模板需要mn个系数。根据滤波目的的不同，可以使用不同的系数。例如平均滤波、高斯滤波。

平滑空间滤波器

平滑滤波用于模糊处理和降低噪声（去噪）模糊处理经常使用于预处理任务中，比如在目标识别中先进行模糊处理。

平滑线性滤波器是包含在滤波器模板邻域中的像素的简单平均值。称为均值滤波器。可以将其归类为低通滤波器。对于均值滤波器，其每个值都为1/mn，所有系数都相等的空间均值滤波器有时称为盒状滤波器。

除了上面所述的均值盒状滤波器，也可以利用“加权平均”的概念来产生滤波器，其思想在于，在滤波器对应的像素中，每个像素的重要程度时不同的（盒状滤波器中每个像素都同等重要）。



上图中都是3 x 3滤波器，其区别在于像素的权重不同，将b中权重和选择为16的好处在于，16是2的整数幂，计算机计算是方便的。

加权滤波的公式：


（1-4）

空间均值滤波器规模越大，对图像模糊的程度就越严重。实际中，需要根据图像中要检测的物体的尺寸确定模板的尺寸。

非线性（统计排序）滤波器

统计排序滤波器是一种非线性空间滤波器，这种滤波器的响应是以滤波器包围的图像区域中所包含的像素的排序（排队）为基础，然后使用统计排序结果决定的值代替中心像素的值。这一类滤波器中最有名的是中值滤波器，其思想是将像素邻域中所有像素的中值作为该点的像素值。中值滤波对处理脉冲噪声非常有用，这种噪声也称为椒盐噪声（Salt and peper noise），椒盐噪声是以黑色或者白色点的形式叠加在图像上。

除了均值滤波器，还可以选择其他统计排序量，比如最大值滤波器，最小值滤波器等。

锐化空间滤波器

锐化处理的目的在于突出灰度过渡的部分，锐化处理的思想是通过图像微分来实现。微分算子的响应强度和图像在用算子操作的这一点的突变程度成正比，图像微分增强边缘和噪声，削弱灰度变化缓慢的区域。

数字微分的特点

对于一阶微分定义的要求：

（1）在恒定灰度区域的微分值为零；（2）在灰度台阶或者斜坡处微分值非零；（3）沿着斜坡或者台阶的微分值非零。

对于二阶微分的定义的要求：

（1）在恒定区域微分值为零；（2）在灰度台阶或者斜坡起点处微分值为零；（3）沿着斜坡的微分值非零。

定义一阶微分：


（1-5）

二阶微分：


（1-6）

使用二阶微分对图像进行锐化—拉普拉斯算子

各向同性滤波器，这种滤波器与滤波器作用的图像的突变方向无关，各向同性滤波器是旋转不变的，将原图像旋转后进行滤波和先滤波后旋转图像结果相同。

拉普拉斯算子就是一种各向同性滤波算子，其定义为：


（1-7）

在x和y方向上可以将拉普拉斯算子写成：


（1-8）


（1-9）

合并之后有：


（1-10）

上图中即为采用不同的拉普拉斯算子的模板。

非锐化掩蔽和高提升滤波

非锐化掩蔽是从原图像中减去一幅非锐化（平滑过的）的，这个称为非锐化掩蔽的过程由下列步骤组成。

（1）模糊原图像。

（2）从原图像中减去模糊图像（产生的差值图像称为模板）。

（3）将模板加到原图像上。



用公式描述上述过程，使用


（1-11）

表示模糊之后的图像， 表示原图像，上式得到结果就称为模板。


（1-12）

上式中，包含了一个权重系数（k>0），当k = 1时，得到非锐化掩蔽，当k>1时，得到高提升滤波。



上图中a是原始图像，b是平滑之后的图像，c是a-b得到的模板，d是a+c得到的最后结果。

一阶微分（非线性）图像锐化—-梯度


（1-12）

向量的长度表示为：


（1-13）

在实际中，用绝对值来代替上式：


（1-14）

假设模板下面中心点的像素值为z5。早期的Roberts提出了两个定义使用交叉差分：


（1-15）

分别利用1-13和1-14计算梯度图像：


（1-16）


（1-17）

这种计算方式称为罗伯特交叉梯度算子。

我们使用的最小模板是3x3算子，gx和gy的近似如下式所示。

>


（1-18）


（1-19）


（1-20）

（1-18）和（1-19）所代表的算子称为Sobel算子。其中模板所有系数和为零。