回溯算法的基本要点

回溯法

回溯法也称为试探法，该方法首先暂时放弃关于问题规模大小的限制，并将问题的候选解按某种顺序逐一枚举和检验。当发现当前候选解不可能是解时，就选择下一个候选解；倘若当前候选解除了还不满足问题规模要求外，满足所有其他要求时，继续扩大当前候选解的规模，并继续试探。如果当前候选解满足包括问题规模在内的所有要求时，该候选解就是问题的一个解。在回溯法中，放弃当前候选解，寻找下一个候选解的过程称为回溯。扩大当前候选解的规模，以继续试探的过程称为向前试探。

【问题】 填字游戏 问题描述：在3×3个方格的方阵中要填入数字1到N（N≥10）内的某9个数字，每个方格填一个整数，似的所有相邻两个方格内的两个整数之和为质数。试求出所有满足这个要求的各种数字填法。

经典回溯算法的解题思路：

文字描述：先填入第一个方格的数值，并在当前数值填入正确的前提下为下一个方格填入合理的数值，依次为接下来的方格填入数值，如果当前数值不合理，则按一定顺序（一般是按从小到大的顺序）修改数值，并且去除所有该解的答案（剪枝，该分支以后的解都不考虑），如果当前方格的所有数值都不符合要求，则回溯到上一方格调整数值，直到9个方格都填入了正确的数值则记录当前解答，再按照顺序调整当前方格的数值（第9方格）求取正确解，如果当前方格的所有解都以遍历则回溯到上一方格调整数值，直到回溯到第一方格并且第一方格的数值不能再调整，则解答完毕。



①填写第1个数值；

②填写第2个数值；

③不满足要求，按照一定顺序修改当前值（一般是从小到大的顺序），且该解的所有结果剔除（剪枝）；

④若已经为最大值依然不满足要求，回溯到前一个方格，按顺序修改前一方格的数值；

⑤满足要求，继续填写数值（期间重复3,4步骤的检查）;

⑥填写最后一个方格；

⑦满足要求，记录当前解，按顺序修改当前值，并重复3，4步骤的检查；

⑧若回溯到第一方格依然不能修改数值，则遍历完成结束。

【程序】

# include <stdio.h>
# define N 12
void write(int a[ ])
{
int i,j;
for (i=0;i<3;i++)
{
for (j=0;j<3;j++)
printf(“%3d”,a[3*i+j]);
printf(“\n”);
}
scanf(“%*c”);
}
int b[N+1];
int a[10];
int isprime(int m)
{
int i;
int primes[ ]={2,3,5,7,11,17,19
4000
,23,29,-1};
if (m==1||m%2=0) return 0;
for (i=0;primes[i]>0;i++)
if (m==primes[i]) return 1;
for (i=3;i*i<=m;)
{
if (m%i==0) return 0;
i+=2;
}
return 1;
}

int checkmatrix[ ][3]={ {-1},{0,-1},{1,-1},{0,-1},{1,3,-1},{2,4,-1},{3,-1},{4,6,-1},{5,7,-1}};

int selectnum(int start)
{
int j;
for (j=start;j<=N;j++)
if (b[j])
return j;
return 0;
}

int check(int pos)
{
int i,j;
if (pos<0)
return 0;
for (i=0;(j=checkmatrix[pos][i])>=0;i++)
if (!isprime(a[pos]+a[j])
return 0;
return 1;
}

int extend(int pos)
{
a[++pos]=selectnum(1);
b[a][pos]]=0;
return pos;
}

int change(int pos)
{
int j;
while (pos>=0&&(j=selectnum(a[pos]+1))==0)
b[a[pos--]]=1;
if (pos<0)
return –1;
b[a[pos]]=1;
a[pos]=j;
b[j]=0;
return pos;
}

void find()
{
int ok=0,pos=0;
a[pos]=1;
b[a[pos]]=0;
do {
if (ok)
if (pos==8)
{
write(a);
pos=change(pos);
}
else pos=extend(pos);
else pos=change(pos);
ok=check(pos);
} while (pos>=0)
}

void main()
{
int i;
for (i=1;i<=N;i++)
b[i]=1;
find();
}

回溯算法的基本框架

如果一个程序要找全部解，则在将找到的解输出后，应继续调整最后位置上填放的整数，试图去找下一个解，相应的算法如下：

{
int m=0,ok=1;
int n=8;
do{
if (ok)
{
if (m==n)
{
输出解；
调整；
}
else
扩展;
}
else
调整;
ok=检查前m个整数填放的合理性;
}while (m!=0);
}