二叉树的基本概念、存储结构、和创建方法

一、二叉树的基本概念

1、二叉树的定义

二叉树是n（n>=0）个结点的有限集合，该集合或者为空集（称为空二叉树），或者由一个根结点和两棵互不相交的、分别称为根结点的左子树和右子树组成。

2、二叉树的特点

（1）每个二叉树最多有两棵子树，所以二叉树中不存在度大于2的结点。

（2）左子树和右子树是有顺序的，次序不能任意颠倒。

（3）即使树中某结点只有一颗子树，也要区分它是左子树还是右子树。

3、特殊二叉树

（1）斜树：所有的结点都只有左子树的二叉树叫左斜树。所有的结点都只有右子树的二叉树叫右斜树。这两者统称为斜树。





（2）满二叉树：在一棵二叉树中，如果所有分支结点都存在左子树和右子树，并且所有叶子都在同一层上，这样的二叉树称为满二叉树。



（3）完全二叉树：对一棵具有n个结点的二叉树按层序编号，如果编号为i（1<=i<=n）的结点与同样深度的满二叉树中编号为i的结点在二叉树中位置完全相同，则这棵二叉树称为完全二叉树。



4、二叉树的性质

（1）在二叉树的第i层上至多有2i-1个结点（i>=1)。

（2）深度为k的二叉树至多有2k-1个结点（i>=1)。

（3）为任何一棵二叉树T，如果其终端结点数为n0，度为2的结点数为n2，则n0=n2+1。

（4）具有n个结点的完全二叉树的深度为└log2n┘+1（└x┘）表示不大于x的最大整数。

（5）如果一棵有n个结点的完全二叉树（其深度为└log2n┘+1）的结点按层序编号（从第1层到第└log2n┘+1层，每层从左到右），对任一结点i（1<=i<=n）有：

①如果i=1，则结点i是二叉树的根，无双亲；如果i>1，则其双亲是结点└i/2┘。

②如果2i>n，则结点i无左孩子（结点i为叶子结点）；否则其左孩子结点是结点2i。

③如果2i+1>n，则结点i无右孩子；否则其右孩子是结点2i+1。

二、二叉树的链式存储结构

1、二叉树的结点结构定义：

typedef struct BtNode
{
ElemType data;
struct BtNode *leftChild;
struct BtNode *rightChild;
}BtNode,*BinaryTree;

三、二叉树的创建方法

1、通过前序序列创建二叉树

BtNode * CreateTree1()//通过前序遍历序列+#号构建二叉树
{
BtNode *s = NULL;
ElemType item = 0;
scanf("%c",&item);
if (item != END)
{
s = BuyNode();
s->data = item;
s->leftChild = CreateTree1();
s->rightChild = CreateTree1();
}
return s;
}

BtNode * CreateTree2(ElemType *&str)//指针的引用
{
BtNode *s = NULL;
if (str != NULL && *str != END)
{
s = BuyNode();
s->data = *str;
s->leftChild = CreateTree2(++str);
s->rightChild = CreateTree2(++str);
}
return s;
}

BtNode * CreateTree3(ElemType * * const pstr)
{
BtNode *s = NULL;
if (pstr != NULL && *pstr != NULL && **pstr != END)
{
s = BuyNode();
s->data = **pstr;
s->leftChild = CreateTree3(&++*pstr);
s->rightChild = CreateTree3(&++*pstr);
}
return s;
}

2、通过先序和中序序列创建二叉树

递归方法：

int IsIndex(ElemType *is,ElemType x,int n)
{
for (int i = 0;i<n;++i)
{
if (is[i] == x)
{
return i;
}
}
return -1;
}

BtNode * CreatePI(ElemType *ps,ElemType *is,int n)
{
BtNode *s = NULL;
if (n > 0)
{
s = BuyNode();
s->data = ps[0];
int pos = IsIndex(is,ps[0],n);//////////////
if (pos == -1)
{
exit(1);
}
s->leftChild = CreatePI(ps+1,is,pos);
s->rightChild = CreatePI(ps+pos+1,is+pos+1,n-pos-1);
}
return s;
}

BtNode * CreateTreePI(ElemType *ps,ElemType *is,int n)
{
    if (ps == NULL || is == NULL || n < 1)
    {
        return NULL;
    }
    else
    {
        return  CreatePI(ps,is,n);
    }
}

3、通过后序和中序序列创建二叉树
递归方法：

int IsIndex(ElemType *is,ElemType x,int n)
{
for (int i = 0;i<n;++i)
{
if (is[i] == x)
{
return i;
}
}
return -1;
}
BtNode * CreateIL(ElemType *is,ElemType *ls,int n)
{
BtNode *s = NULL;
if (n > 0)
{
int pos = IsIndex(is,ls[n-1],n);
if (pos == -1)
{
exit(1);
}
s = BuyNode();
s->data = ls[n-1];
s->leftChild = CreateIL(is,ls,pos);
s->rightChild = CreateIL(is+pos+1,ls+pos,n-pos-1);
}
return s;
}
BtNode * CreateTreeIL(ElemType *is,ElemType *ls,int n)
{
if (is == NULL || ls == NULL || n < 1)
{
return NULL;
}
else
{
return CreateIL(is,ls,n);
}
}