1.线性回归的推导--梯度下降法

1.在线性回归问题中，我们通常使用下面公式来拟合训练集：



其中

,为特征向量的个数；
2.如图假设x是二维的，则有





3.  我们可以将损失函数表示为：



4.  我们将目标函数转成求损失函

的最小值，该问题已经转换成了最小二乘问题，因此我们可以使用梯度下降法对

求最小值。

      1） 首先,为了简化问题，我们假设只有一组样本,即m=1，对

求偏导有：



2).其梯度下降的迭代公式可表示为：



其中，a表示学习率，这里做一个不严谨的类比，假设你在爬山，这会儿正在下山的图中，那么你朝着哪个方向下降速度会最快呢？答案显然是，梯度方向（本例为

），a就是你要迈的步子长度。注意：通常a是手动设置的，若a值设的太小，会导致步子迈的太小，你将花较长的时间下山，也就是函数要花很长的时间才能收敛；若a值设的过大，你的算法可能会迈过最小值，因为你的步子太大了。

5. 我们将3中所求的梯度下降算法推广到n维，则其可以写成：



6.注意：当你使用梯度下降的时候，当你接近局部最小值的时候，步子会越来越小，最终直到收敛，原因是你在更新的时候，

你会减去乘以梯度，当你达到局部最小值的时候，梯度也减为0，当你接近局部最小值的时候，在局部最小值处梯度是0，

也就是当你梯度下降的每一步都会自动的变得越来越小。

以上所讲述的算法称为批梯度下降算法

7.该算法的缺陷：每次计算都需要遍历整个训练集合 ，因为你需要对你的m个训练样本进行求和，当我们遇到非常大的 训练集

合的时候，这种算法就显得的不合适了。所以当你有一个很大的训练集合的时候，那么你应该使用另外一个称之为随机梯度下降的算法，

亦称为增量梯度算法，可表示为：



随机梯度下降算法的优点：你不需要在遍历所有的样本，提升了收敛速度。所以对大规模的训练集合，建议使用随机梯度下降算法。

随机梯度下降算法的缺点：随机梯度下降算法，不会精确的收敛到全局的最小值，但是会逼近最小值，通常达到这个精度就可以了。

8. 现在我们回到我们的问题，我们要计算的问题已经转化成了损失函数最小化，因此下面我们将开始证明线性回归问题：

8.1  回顾下几个概念：



所以，可以将梯度下降表示为：



若f表示矩阵到实数的映射，则有：



8.2矩阵迹的性质:
1)     设A是n*n方阵，则A的迹为对角阵之和：





8.2.定义一个设计矩阵x，将其定义成包含了训练集中所有输入的矩阵：



1.1  定义 

代表所有的训练集合中数据的目标值