牛顿迭代公式计算平方根立方根

牛顿迭代公式计算平方根立方根

如何用计算机来求一个数的平方根与立方根呢。可以采用牛顿迭代公式。相类似的还有GCD最大公约数算法，也即欧几里德算法，利用余数辗转相除。

牛顿迭代公式思路

用一个曲线的切线的根去表示一个曲线的根（根指一元方程的解，多元方程的解叫一组解，不叫根）。然后再从曲线上前一根处做切线，再求新切线的根，直到误差达到自己预期的精度范围内。

牛顿迭代公式

曲线为y=f(x)，在x0处的切线方程为y=f(x0)+f′(x0)×(x−x0)。要求f(x)=0的根，我们用在x0处f(x)的切线与x轴的交点做为曲线根的拟合。即用f(x0)+f′(x0)×(x−x0)=0的根做为曲线的根。

x=x0−f(x0)f′(x0)

此即为牛顿迭代公式。

平方根迭代公式

假设输入为N。我们要求N−−√=x。可得x2−N=0。此即为f(x)。即f(x)=x2−N。其中N为输入的要求其平方根的数。f′(x)=2x。代入牛顿迭代公式。可得：

x=x0−x20−N2x0=x02+N2x0。此方程即可视为一个状态转移方程了。

xn=0.5×xn−1+0.5×Nxn−1

代码如下：

double Leetcode::sqrt(double d, double loss)
{
double x=1.0;
do{
x=0.5*x+0.5*d/x;
}while(fabs(x*x-d)>loss);

return x;
}

立方根迭代公式

要求N−−√3=x，即x3−N=0，即f(x)=x3−N。可知f′(x)=3x2。

代入牛顿迭代公式。

xn=xn−1−f(xn−1)f′(xn−1)=xn−1−x3n−1−N3x2n−1=2xn−13+N3x2n−1

代码如下：

double Leetcode::cubeRoot(double d, double loss)
{
double x=1.0;
do{
x=2*x/3+d/(3*x*x);
}while(fabs(x*x*x-d)>loss);

return x;
}