定理与公理的区别

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简单的来说：

1.公理是经过大量实践证实的真理（目前而言），是不需要证明的，类似公认的常识，没有逻辑矛盾。比如说，二维平面内两条平行直线不会相交。

   定理是用数学方法经过推导证明出来的。比如说，两直线平行，内错角相等。

   推论：是根据某个定理 进行简单推导得到的，也算是定理。

一、公理

经过人类长期反复的实践检验是真实的，大家普遍公认的、不需要由其他判断加以证明、且也不能由其他判断证明的命题和原理。一些学科就是建立在这样一些公理的基础上。

以前学数学，欧里几何出现的时候前面就列出了一些公理（原书称为公设，实际上是现在我们所说的公理）。

公理1：任意一点到另外任意一点可以画直线

公理2：一条有限线段可以继续延长

公理3：以任意点为心及任意的距离可以画圆

公理4：凡直角都彼此相等

公理5：同平面内一条直线和另外两条直线相交，若在某一侧的两个内角和小于二直角的和，则这二直线经无限延长后在这一侧相交。

如传统形式逻辑三段论关于一类事物的全部是什么或不是什么，那么这类事物中的部分也是什么或不是什么，也即如果对一类事物的全部有所断定，那么对它的部分也就有所断定，便是公理。又如日常生活中人们所使用的“有生必有死”，也属于这种不证自明的判断。

但是，这并不说明公理一定是对的，人类对世界的认知是有限的，这种普遍公认的，不证自明的公理有出错的可能。出错不见得是坏事，反而推动人类一步一步更完善的认识世界。比如关于欧里几何第五公理，不能说是出错，但通过不同的假设就得出几种其它几何——椭圆几何、欧几里得几何和双曲几何。

所以可以得知的结论是这个基础并不是牢不可破的，只是在人类的认知系统内相对正确的。

 

二、定理

已经证明具有正确性、可以作为原则或规律的命题或公式，如几何定理。定理是从真命题（公理或其他已被证明的定理）出发，经过受逻辑限制的演绎推导，证明为正确的结论，即另一个真命题。例如“平行四边形的对边相等”就是平面几何中的一个定理。

一般来说，在数学中，只有重要或有趣的陈述才叫定理。证明定理是数学的中心活动。

相信为真但未被证明的数学叙述为猜想，当它被证明为真后便是定理。它是定理的来源，但并非唯一来源。一个从其他定理引伸出来的数学叙述，可以不经过证明成为猜想的过程，成为定理。

即定理是由公理或定理推导而来的命题或公式。推导方法依靠人类的逻辑学。

 

三、定律

定律是为实践和事实所证明，反映事物在一定条件下发展变化的客观规律的论断，是通过大量具体的客观事实经验累积归纳而成的结论。例如牛顿运动定律、能量守恒定律、欧姆定律等。

定律是一种理论模型，它用以描述特定情况、特定尺度下的现实世界，在其它尺度下可能会失效或者不准确。没有任何一种理论可以描述宇宙当中的所有情况，也没有任何一种理论可能完全正确。

简而言之，定律是人们通过猜想验证、通过无数次实践证明的，以特殊推导一般，以局部推导全局的的论断。很多科学与哲学的发展即基于此。

我想指出的是定律的局限性。它是有穷情况下对事物的归纳假设，不是必然正确的，当然也不可能穷尽所有情况。

所以可以得知人类认知系统的三个可能错误的来源：一是实践总结出来的定律不够全面，没有囊括所有情况。二是这些不证自明的公理基础。三是用来判断推导的逻辑学。（当然这个可以包括在一二条中。）

我觉得人类至今对世界的认识还只是一小部分，而且已经认知的部分看起来还这么的脆弱。但是我是一个乐观派，我相信世界的可知性，也相信总有一天人类会认知这个世界的一切，更希望能在自己的有生之年能够看到这一切的统一。

 

既然说到这儿了，顺便再加上定义。

四、定义

定义是认识主体用判断或描述的形式，确定或划定认识对象或事物在综合系统中的位置和界限，使一个认识对象或事物从综合系统中彰显出来的认识行为。

“定义”作为一个词语，在一定的语言环境中作为动词使用，在另一定语言环境中作为名词使用。“定义”作为动词使用时，它的词面含义是确定认识对象的意义，是指人类的一种具体形式的认识行为。“定义”作为名词使用时，它的词面含义是位置、界限和规定，是指认识对象具有的界限、意义和规定。

人们相互交流必须对某些名称和术语有共同的认识才能进行。（顺便注一句，很多情况下人们之所以有争论不在于结论不同，而是对基本事物的定义不同。）为此，就要对名称和术语的含义加以描述，作出明确的规定，也就是给出它们的定义。

定义是通过列出一个事物或者一个物件的基本属性来描写或者规范一个词或者一个概念的意义。被定义的事物或者物件叫做被定义项，其定义叫做定义项。

比如“一个单身汉是一个未婚男子”这个定义中“单身汉”是被定义项，“未婚男子”是定义项。定义中的“一个”和“是”均可以使用符号取代，比如使用:=这个符号，上面这个定义可以转写为：“单身汉:=未婚男子”。一般来说一个定义像上面这个例子一样往往是表达被定义项与定义项之间的等同的句子。