二叉查找树（BST） | 平衡二叉查找树（AVL） | 红黑树（RBT）

二叉查找树（BST）

特点：对任意节点而言，左子树（若存在）的值总是小于本身，而右子（若存在）的值总是大于本身。

查找：从根开始，小的往左找，大的往右找，不大不小的就是这个节点了；

插入：从根开始，小的往左，大的往右，直到叶子，就插入，

时间复杂度期望为Ο(logn)；

删除：如果是叶子节点，直接删除；如果不是，则去找这个节点左子树的最大值，与之交换；如果交换后还不是叶子节点就继续找做字数的最大值，重复操作至成为叶子节点，删除；

左子树如果不存在就去找右子树的最小节点，交换，重复操作，与上同理；

平衡二叉查找树（AVL）

二叉查找树中的Ο(logn)，是个期望值，如果出现比较差的情况，比如根节点为1，后依次插入2、3、4、5、6、7、8、9.。。。。那么，数据结构上来说，树就退化为链表了，但概念上还是二叉查找树，那么操作的时间复杂度也就变为了O(n)，导致的原因为树不平衡，不对称；

概念：

左高 = 左节点空 ? 0 : (左节点高+1)

右高 = 右节点空 ? 0 : (右节点高+1)

AVL的定义为：ABS(左高 - 右高) <= 1；（ABS求绝对值)：即任意节点的左右高的绝对值之差为0/1;

如何是二叉查找树在添加数据的同时保持平衡？

基本思想就是：当在二叉排序树中插入一个节点时，首先检查是否因插入而破坏了平衡，若 破坏，则找出其中的最小不平衡二叉树，在保持二叉排序树特性的情况下，调整最小不平衡子树中节点之间的关系，以达 到新的平衡。所谓最小不平衡子树 指离插入节点最近且以平衡因子的绝对值大于1的节点作为根的子树。

平衡二叉树的添加

LL型：X节点的左高本来就大，插入点还在左子树的左子树上；



直接以X的左子树根节点为中心向右旋转；

RR型：X节点的右高本来就大，插入点还在右子树的右子树上；



直接以X的右子树根节点为中心向左旋转；

LR型：以上同理不赘述



先将左子树左旋转，再整体右旋转；

RL型：



先将右子树右旋转，再整体左旋转；

平衡二叉树的删除：

从平衡二叉树中删除节点更为复杂。首先第一步需要找到要删除的节点x，并分情况进行处理：

如果要删除的节点为叶子节点，就找到了要删除的节点

如果要删除的节点为只有一棵子树的节点就找到了要删除的节点

如果要删除的节点既有左子树，又有右子树。。。

与二叉查找树同理：

如果是叶子节点，直接删除；如果不是，则去找这个节点左子树的最大值，与之交换；如果交换后还不是叶子节点就继续找做字数的最大值，重复操作至成为叶子节点，删除；

左子树如果不存在就去找右子树的最小节点，交换，重复操作，与上同理；

然后判断是否破坏了平衡二叉树的平衡；

关键点在于调整过程：

类似于插入，不过也有区别；

以从节点X的左子树删除节点导致其左子树高度降低而需要调整为例进行分析：

删除的左子树，要调整，影响的是右子树，所以要看右子树的状态；

X的右子树的平衡因子为-1；



以X为轴，直接进行左旋操作；

X的右子树的平衡因子为0；



以X为轴，直接进行左旋操作；

X的右子树的平衡因子为1；



先将X的右子树右旋，再以X为轴左旋；

平衡二叉树性能分析

平衡二叉树的性能优势：很显然，平衡二叉树的优势在于不会出现普通二叉查找树的最差情况。其查找的时间复杂度为O(logN)。

平衡二叉树的缺陷：

(1) 很遗憾的是，为了保证高度平衡，动态插入和删除的代价也随之增加。

(2) 所有二叉查找树结构的查找代价都与树高是紧密相关的，能否通过减少树高来进一步降低查找代价呢。我们可以通过多路查找树的结构来做到这一点。

(3) 在大数据量查找环境下(比如说系统磁盘里的文件目录，数据库中的记录查询 等)，所有的二叉查找树结构(BST、AVL、RBT)都不合适。如此大规模的数据量（几G数据），全部组织成平衡二叉树放在内存中是不可能做到的。那么把这棵树放在磁盘中吧。问题就来了：假如构造的平衡二叉树深度有1W层。那么从根节点出发到叶子节点很可能就需要1W次的硬盘IO读写。大家都知道，硬盘的机械部件读写数据的速度远远赶不上纯电子媒体的内存。 查找效率在IO读写过程中将会付出巨大的代价。在大规模数据查询这样一个实际应用背景下，平衡二叉树的效率就很成问题了。

红黑树（Red-Black Tree ( RBT））

红黑树实际上是AVL的一种变形，但是其比AVL(平衡二叉搜索树)具有更高的插入效率，当然查找效率会平衡二叉树稍微低一点点，毕竟平衡二叉树太完美了。但是这种查找效率的损失是非常值得的。它的操作有着良好的最坏情况运行时间，并且在实践中是高效的: 它可以在O(log n)时间内做查找，插入和删除，这里的n是树中元素的数目。

性质1 节点是红色或黑色。

性质2 根节点是黑色。

性质3 每个叶节点（NIL节点，空节点）是黑色的。

性质4 每个红色节点的两个子节点都是黑色。(从每个叶子到根的所有路径上不能有两个连续的红色节点)

性质5 从任一节点到其每个叶子的所有路径都包含相同数目的黑色节点。

这些约束的好处是：保持了树的相对平衡，同时又比AVL的插入删除操作的复杂性要低许多。

注意的点：

红黑树和AVL树的区别在于它使用颜色来标识结点的高度，它所追求的是局部平衡而不是AVL树中的非常严格的平衡。

红黑树和平衡二叉树区别如下：

1、红黑树放弃了追求完全平衡，追求大致平衡，在与平衡二叉树的时间复杂度相差不大的情况下，保证每次插入最多只需要三次旋转就能达到平衡，实现起来也更为简单。

2、平衡二叉树追求绝对平衡，条件比较苛刻，实现起来比较麻烦，每次插入新节点之后需要旋转的次数不能预知。

最小二叉平衡树的节点的公式如下 F(n)=F(n-1)+F(n-2)+1 这个类似于一个递归的数列，可以参考Fibonacci数列，1是根节点，F(n-1)是左子树的节点数量，F(n-2)是右子树的节点数量。